Diferencia entre revisiones de «Función gaussiana»
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En [[matemáticas]] la '''función gaussiana''' (en honor a [[Carl Friedrich Gauss]]), es una [[función (matemáticas)|función]] definida por la expresión: |
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:<math>f(x) = a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }</math> |
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La [[Gráfica de una función|gráfica]] de la función es simétrica con forma de campana, conocida como '''campana de Gauss'''. El parámetro ''a'' es la altura de la campana centrada en el punto ''b'', determinando ''c'' el ancho de la misma. |
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Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en [[estadística]] correspondiendo, en el caso de que ''a'' sea igual a <math>\frac{1}{c\sqrt{2\pi}}</math>, a la [[función de densidad]] de una [[variable aleatoria]] con [[distribución normal]] de [[esperanza matemática|media]] μ=''b'' y [[varianza]] σ<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup>. |
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Las funciones gaussianas con ''c''<sup>2</sup> = 2 son las [[autofunción|autofunciones]] de la [[transformada de Fourier]]. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo [[escalar]] de la función original. |
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== Propiedades == |
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Las gaussianas se encuentran entre las [[función elemental|funciones elementales]], aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la [[integral impropia]] sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la [[integral de Gauss]] obteniéndose que: |
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:<math>\int_{-\infty}^{\infty} a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }\,dx = a|c|\sqrt{2\pi}.</math> |
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El valor de la integral es 1 si y solo si <math> a =\frac{1}{c\sqrt{2\pi}}</math>, en cuyo caso la función gaussiana es la [[función de densidad]] de una [[variable aleatoria]] con [[distribución normal]] de [[esperanza matemática|media]] μ=''b'' y [[varianza]] σ<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup>. Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta. |
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== Aplicaciones == |
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La [[función primitiva|primitiva]] de una función gaussiana es la [[función error]]. |
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Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las [[ciencias naturales]], [[ciencias sociales]], [[matemáticas]] e [[ingeniería]]. Algunos ejemplos: |
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* En [[estadística]] y [[teoría de probabilidades]], las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la '''[[distribución normal]]''', la cual es una [[distribución de probabilidad]] límite de sumas complicadas, según el [[teorema del límite central]]. |
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* Una función gaussiana es la [[función de onda]] del [[estado fundamental]] del [[oscilador armónico cuántico]]. |
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* Los [[orbital molecular|orbitales moleculares]] usados en [[química computacional]] son [[combinación lineal|combinaciones lineales]] de funciones gaussianas llamados [[orbital gaussiano|orbitales gaussianos]]. |
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* Matemáticamente, la función gaussiana juega un papel importante en la definición de los [[polinomios de Hermite]]. |
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* Consecuentemente, están también asociadas con el [[estado de vacío]] en la [[teoría cuántica de campos]]. |
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* Los [[rayo gaussiano|rayos gaussianos]] se usan en sistemas ópticos y de microondas. |
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* Las funciones gaussianas se utilizan como [[filtro electrónico|filtro]] de suavizado en el [[procesamiento digital de imágenes]]. |
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En páginas de Internet que prestan el servicio de compra y venta de bienes y servicios, muchos pseudoestadísticos ofrecen software fraudulento que según sus vendedores, se basa en la campana de Gauss para predecir el número ganador de la lotería ofreciendo hasta el 100% de efectividad. Es una modalidad de estafa basada en la falta de conocimiento de las victimas. |
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== Véase también == |
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*[[Carl Friedrich Gauss]] |
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*[[Integral de Gauss]] |
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*[[Distribución normal]] |
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*[[Transformada de Fourier]] |
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*[[Delta de Dirac]] |
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[[Categoría:Funciones reales|Funcion gaussiana]] |
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[[Categoría:Exponenciales]] |
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[[en:Gaussian function]] |
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[[fr:Fonction gaussienne]] |
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[[it:Funzione gaussiana]] |
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[[ja:ガウス関数]] |
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[[ko:가우스 함수]] |
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[[lt:Gauso funkcija]] |
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[[nl:Gaussische functie]] |
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[[sk:Gaussova krivka]] |
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[[uk:Функція Гауса]] |
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[[zh:高斯函数]] |
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Revisión del 02:01 6 sep 2009
En matemáticas la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una función definida por la expresión:
donde a, b y c son constantes reales (a > 0).
La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.
Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística correspondiendo, en el caso de que a sea igual a , a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.
Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.
Propiedades
Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:
El valor de la integral es 1 si y solo si , en cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2. Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.
Aplicaciones
La primitiva de una función gaussiana es la función error.
Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemáticas e ingeniería. Algunos ejemplos:
- En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central.
- Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico.
- Los orbitales moleculares usados en química computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos.
- Matemáticamente, la función gaussiana juega un papel importante en la definición de los polinomios de Hermite.
- Consecuentemente, están también asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos.
- Los rayos gaussianos se usan en sistemas ópticos y de microondas.
- Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imágenes.
En páginas de Internet que prestan el servicio de compra y venta de bienes y servicios, muchos pseudoestadísticos ofrecen software fraudulento que según sus vendedores, se basa en la campana de Gauss para predecir el número ganador de la lotería ofreciendo hasta el 100% de efectividad. Es una modalidad de estafa basada en la falta de conocimiento de las victimas.