Autofunción

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La solución al problema de la membrana vibrando es en cualquier instante del tiempo, una autofunción del operador de Laplace en un disco.

En matemáticas, una autofunción (a veces llamada Eigenfunción, del alemán Eigen: propio) de un operador lineal "A", definida en alguna función de espacio es una función "f" distinta de cero en ese espacio que devuelve al operador exactamente como es, a excepción de un factor de ajuste multiplicativo. Precisamente, si se tiene


\mathcal A f = \lambda f

por algún escalar λ. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. La solución al problema del diferencial del valor propio también depende de las condiciones de frontera requeridas por f. En cada caso, sólo hay ciertos valores propios \lambda=\lambda_n (n=1,2,3,...) que admiten una solución correspondiente para f=f_n (con cada f_n perteneciente al valor propio \lambda_n ) cuando se combina con las condiciones de frontera. La existencia de las autofunciones suele ser la manera más perspicaz para analizar A.


Por ejemplo, f_k(x) = e^{kx} es una autofunción para el operador diferencial


\mathcal A = \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d}{dx}

para cualquier valor de k, con un autovalor correspondiente \lambda = k^2 - k. Si las condiciones de frontera son aplicados a este sistema (e.g., f=0 en dos ubicaciones físicas en el espacio), entonces solo ciertos valores de k=k_n satisfacen las condiciones de frontera, generando correspondientes valores propios discretos \lambda_n=k_n^2-k_n.

Específicamente, en el estudio de señales y sistemas, la autofunción de un sistema es la señal f(t) que introducido a un sistema, produce una respuesta y(t) = \lambda f(t) con una costante compleja \lambda.[1]

Aplicaciones[editar]

Las autofunciones tienen un papel importante en muchas ramas de la física. Un importante ejemplo es la mecánica cuántica, donde la ecuación de Shrödinger 
\mathcal H \psi = E \psi
,

con 
 \mathcal H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)

tiene una solución de la forma


\psi(t) = \sum_k e^{-i E_k t/\hbar} \phi_k,

donde \phi_k son autofunciones del operador \mathcal H con valores propios E_k. El hecho de que solo ciertos valores propios E_k con autofunciones asociadas \phi_k satisfagan la ecuación de Schrödinger's da lugar a una base natural para la mecánica cuántica y la tabla periódica de los elementos, con cada E_k un estado permisible de energía del sistema. El éxito de esta ecuación en la explicación de las características espectrales de hidrógeno está considerado como uno de los grandes triunfos de la física del siglo 20.

Debido a la naturaleza del operador Hamiltoniano \mathcal H, sus autofunciones son funciones ortogonales. Esto no es necesario en el caso de las funciones propias de otros operadores (como el ejemplo A mencionado arriba). Funciones ortogonales f_i, i=1, 2, \dots, tienen la propiedad de que


0 = \int f_i^{*} f_j

donde 
f_i^{*}
es el complejo conjugado de f_i

cuando i\neq j, en cuyo caso el conjunto \{f_i \,|\, i \in I\} se dice que es ortogonal. Además, es linealmente independiente.

Notas[editar]

  1. Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Signals and systems, 2nd ed., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 p. 49

Referencias[editar]

Véase también[editar]