Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada evento definido sobre la variable aleatoria una probabilidad. La distribución de probabilidad describe el rango de valores de la variable aleatoria así como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté dentro de un subconjunto de dicho rango.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Definición de función de distribución

Dada una variable aleatoria $X$, se define su función de distribución, $F_{X}(x)$, definida por:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice $X$, y se escribe simplemente $F(x)$.

Por las propiedades de la probabilidad se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ y $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$
2. Es continua por la derecha.
3. Es monótona no decreciente.

La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad $f(x)$. Es decir, se calcula directamente según:

• Si $x$ es una variable aleatoria discreta

$F(x)=\sum _{t=-\infty }^{x}f(t)$

• Si $x$ es una variable aleatoria continua

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Propiedades

Para dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ tal que $(a<b)$, los sucesos $(X\leq a)$ y $(a<X\leq b)$ serán mutuamente excluyentes y su unión es el suceso $(X\leq b)$, por lo que tenemos entonces que:

$P(X\leq b)=P(X\leq a)+P(a<X\leq b)$

$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$

y finalmente

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución $F(x)$ para todos los valores de la variable aleatoria $x$ conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

$F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)$

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$.

Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

• Distribución binomial
• Distribución binomial negativa
• Distribución Poisson
• Distribución geométrica
• Distribución hipergeométrica
• Distribución de Bernoulli
• Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad 1 / 2 y el valor -1 con probabilidad 1 / 2.
• Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son igualmente probables.

Distribuciones de variable continua

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Distribuciones de variable continua más importantes

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:

• Distribución ji cuadrado
• Distribución exponencial
• Distribución t de Student
• Distribución normal
• Distribución Gamma
• Distribución Beta
• Distribución F

Enlaces externos

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