Distribución hipergeométrica

Distribución hipergeométrica
Parámetros	$\begin{align}N&\in 0,1,2,\dots \\ m&\in 0,1,2,\dots,N \\ n&\in 0,1,2,\dots,N\end{align}\,$
Dominio	$\scriptstyle{k\, \in\, \max{(0,\, n+m-N)},\, \dots,\, \min{(m,\, n )}}\,$
Función de probabilidad (fp)	${{{m \choose k} {{N-m} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}$
Media	$n m\over N$
Moda	$\left \lfloor \frac{(n+1)(m+1)}{N+2} \right \rfloor$
Varianza	$n(m/N)(1-(m/N))(N-n)\over (N-1)$
Coeficiente de simetría	$\frac{(N-2m)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}$
Curtosis	$\left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]$ $\cdot\left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}\right.$ $+\left.\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]$
Función generadora de momentos (mgf)	$\frac{{N-m \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -m; N - m - n + 1; e^{t}) } } {{N \choose n}} \,\!$
Función característica	$\frac{{N-m \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -m; N - m - n + 1; e^{it}) }} {{N \choose n}}$

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ($0 \le x \le d$) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

$P(X=x)=\frac{{d \choose x}{{N-d \choose n-x}}}{{N \choose n}},$

donde $N$ es el tamaño de población, $n$ es el tamaño de la muestra extraída, $a$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y $x$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación ${a \choose x}$ hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar $x$ elementos de un total $a$.

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

$E[X]=\frac{na}{N}$

y su varianza,

$Var[X]=\bigg(\frac{N-n}{N-1}\bigg)\bigg(\frac{nd}{N}\bigg)\bigg( 1-\frac{d}{N}\bigg).$

En la fórmula anterior, definiendo

$p = \frac{d}{N}$

y

$q = 1-p\,,$

se obtiene

$Var[X]=npq\frac{N-n}{N-1}.$

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

Enlaces externos

• [1] Cálculo de la probabilidad de una distribución hipergeométrica con R (lenguaje de programación)