Distribución binomial negativa

Distribución binomial negativa
Parámetros	$r > 0\!$ (real) $0<p<1\!$ (real)
Dominio	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
Función de probabilidad (fp)	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$
Función de distribución (cdf)	$I_p(r,k+1)\text{ donde }I_p(x,y)$ es la función beta incompleta regularizada
Media	$\frac{r}{p}$
Moda	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ si }r>1$ $0\text{ si }r\leq 1$
Varianza	$r\,\frac{1-p}{p^2}$
Coeficiente de simetría	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
Curtosis	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
Función generadora de momentos (mgf)	$\left(\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
Función característica	$\left(\frac{pe^{i\,t}}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro $\theta$ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y $\theta$.

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Propiedades

Su función de probabilidad es

$\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}$

para enteros x mayores o iguales que k, donde

$\!{x-1 \choose k-1} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}$.

Su media es

$\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}$

si se piensa en el número de fracasos únicamente y

$\!\mu = \frac{{k}}{\theta}$

si se cuentan también los k-1 éxitos.

Su varianza es

$\!\sigma ^2 = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}$

en ambos casos.

Ejemplos

Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y

$\!x = 10, k = 3, \theta = 0,\!40$

La solución es:

$\!b^*(10;3,0,\!4)={10-1 \choose 3-1}0,\!4^3(1-0,\!4)^{10-3}={9 \choose 2}0,\!4^3(0,\,6)^{7}=0,\!0645$

En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿cual es la probabilidad que el quinto (5) articulo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solucion es: X= articulos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-1\1-1)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraido sea el primero en estar defectuoso.

Enlaces externos

• Calculadora Distribución binomial negativa
• [1] Cálculo de la probabilidad de una distribución binomial negativa con R (lenguaje de programación)