Distribución binomial negativa

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Distribución binomial negativa
Parámetros r > 0\! (real)
0<p<1\! (real)
Dominio k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
Función de probabilidad (fp) \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!
Función de distribución (cdf) I_p(r,k+1)\text{ donde }I_p(x,y) es la función beta incompleta regularizada
Media \frac{r}{p}
Moda \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ si }r>1
0\text{ si }r\leq 1
Varianza r\,\frac{1-p}{p^2}
Coeficiente de simetría \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
Curtosis \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!
Función generadora de momentos (mgf) \left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
Función característica \left(\frac{pe^{i\,t}}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!

En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro \theta independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y \theta.

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Propiedades[editar]

Su función de probabilidad es

\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose x-k}\theta^k(1-\theta)^{x-k} = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}

para enteros x mayores o iguales que k, donde

\!{x-1 \choose k-1} = {x-1 \choose x-k} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}.

Su media es

\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}

si se piensa en el número de fracasos únicamente y

\!\mu = \frac{{k}}{\theta}

si se cuentan también los k-1 éxitos.

Su varianza es

\!\sigma ^2  = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}

en ambos casos.

Ejemplos[editar]

Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y

\!x = 10, k = 3, \theta = 0,\!40

La solución es:

\!b^*(10;3;0,\!4)={10-1 \choose 3-1}0,\!4^3(1-0,\!4)^{10-3}={9 \choose 2}0,\!4^3(0,\,6)^{7}=0,\!0645

En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿cual es la probabilidad que el quinto (5) artículo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solución es: X= artículos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-1\1-1)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso.

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