Función cóncava

En matemática, una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

Definición

Formalmente, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$

Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b].

Una función que es cóncava es a menudo también llamada cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Una función es estrictamente cóncava si

$f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,$

para cualquier t en (0,1) y x ≠ y.

Una función continua en C es cóncava si y sólo si

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ .

para cualquier x e y en C.

Una función diferenciable f es cóncava en un intervalo si su derivada f ′ es monótonamente decreciente en ese intervalo: una función cóncava posee una pendiente negativa o decreciente. (entendiendo por "decreciente" aquí a que es "no-creciente", en lugar de "estrictamente decreciente"; es decir, se permite la pendiente cero).

Propiedades

Dada una función f doblemente diferenciable, si su segunda derivada f ′′(x) es positiva, entonces f es convexa; si f ′′(x) es negativa, entonces es cóncava. Los puntos donde la concavidad cambia son puntos de inflexión.

Si una función convexa (es decir, cóncava hacia arriba) tiene un "fondo" ("bottom"), cualquier punto al fondo es un mínimo extremo. Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("apex"), cualquier punto al ápice es un máximo extremo.

Si f(x) es doblemente diferenciable, entonces f(x) es cóncavo si y sólo si f ′′(x) es negativo o cero. Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para f(x) = -x⁴.

Una función es cuasi-cóncava si y sólo si posee un $x_{0}$ tal que para todo $x<x_{0}$, $f(x)$ es no-decreciente y para todo $x>x_{0}$ es no-creciente. $x_{0}$ puede también ser $\pm \infty$, haciendo la función no-decreciente (no-creciente) para todo $x$. Además, una función f es cuasi-convexa si y sólo si −f es cuasi-cóncava.

Ejemplos

• La función $f(x)=-x^{2}$ es cóncava, pues su segunda derivada es siempre negativa.
• Cualquier función constante $f(x)=c$ es cóncava y convexa.
• La función $f(x)=\sin x$ es cóncava en cualquier intervalo de la forma $[2\pi n,2\pi n+\pi ],\,$ donde $n$ es un entero.

Véase también

• Función convexa
• Polígono convexo