Pendiente (matemáticas)

Pendiente de una carretera.

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

En geometría, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra $m$, y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Geometría

Una recta horizontal tiene pendiente igual a 0 (cero). Cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta; por ejemplo, una recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto al eje X tiene una pendiente m = +1, y una recta que caiga 30° tiene pendiente m = -0,5. La pendiente de una recta vertical no esta definida, o se dice que es infinita.

El ángulo θ que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente m por medio de la siguiente relación trigonométrica:

$m = \tan\,\theta$

o equivalentemente:

$\theta = \arctan\,m$

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes es igual a -1.

La pendiente en las ecuaciones de la recta

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

$y = mx + b \,$

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de $b$ puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de $y$ cuando $x=0$. Este valor también es llamado ordenada en el origen.

Si la pendiente $m$ de una recta y el punto $(x_0,y_0)$ de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

$y - y_0 = m(x - x_0) \,$

La pendiente de la recta en la fórmula general:

$Ax + By + C = 0 \,$

está dada por:

$m = -\frac{A}{B}$

Cálculo

Representación gráfica de la derivada.

El concepto de pendiente es central en el cálculo diferencial. En funciones no-lineales, la razón de cambio varía a lo largo de la curva. La derivada de la función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto, y es igual a la variación de la función en ese punto.

Véase también

• Recta
• Derivada
• Gradiente
• Lista de pendientes y deformaciones en vigas
• Trazado altimétrico

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Slope." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Slope.html