Diferencia entre revisiones de «Grupo abeliano»
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* Si ''n'' es un [[número natural]] y ''x'' un elemento de un grupo abeliano ''G'' (con notación aditiva), se puede definir ''nx'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x'' (''n'' sumandos), y (−''n'')''x'' = −(''nx''), con lo que ''G'' se vuelve un [[módulo (matemática)|módulo]] sobre el anillo '''Z''' de los enteros. De hecho, los módulos sobre '''Z''' no son otros que los grupos abelianos. |
* Si ''n'' es un [[número natural]] y ''x'' un elemento de un grupo abeliano ''G'' (con notación aditiva), se puede definir ''nx'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x'' (''n'' sumandos), y (−''n'')''x'' = −(''nx''), con lo que ''G'' se vuelve un [[módulo (matemática)|módulo]] sobre el anillo '''Z''' de los enteros. De hecho, los módulos sobre '''Z''' no son otros que los grupos abelianos. |
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* Si ''f'', ''g'' : ''G'' → ''H'' son dos [[homomorfismo]]s entre grupos abelianos, su suma (definida por (''f'' + ''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x'')) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre ''G'' y ''H'' se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo. |
* Si ''f'', ''g'' : ''G'' → ''H'' son dos [[homomorfismo]]s entre grupos abelianos, su suma (definida por (''f'' + ''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x'')) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre ''G'' y ''H'' se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo. |
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== sexualidad cuando el pene del hombre penetra la vajina de la mujer yendo de adelante para atras sacando semen de esa manera el hombre espera a q salga quedandose quieto un momento estando el pene dentro la mujer jime y despues ocurre la fecundacion |
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==Grupos abelianos finitos== |
==Grupos abelianos finitos== |
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Revisión del 01:34 26 abr 2009
En matemática, un grupo abeliano, también llamado grupo conmutativo, es un grupo (que se denota con (G, *) ), tal que:
para todos los elementos a, b ∈ G. Es decir, el orden de los factores no altera el producto. Tales grupos son en general más fáciles de entender.
Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).
Notación
Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.
| Notación | Operación | Elemento neutro | Potencias | Elementos inversos | Suma directa / producto directo |
|---|---|---|---|---|---|
| Adición | a + b | 0 | na | −a | G ⊕ H |
| Multiplicación | a * b ó ab | e ó 1 | an | a−1 ó 1/a | G × H |
La notación multiplicativa no es otra que la notación usual para los grupos, mientras que la aditiva es la notación usual para módulos. Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, usualmente se usa la notación aditiva.
Ejemplos
Todo grupo cíclico G es abeliano, pues si x, y ∈ G = <a>, x = am y y = an para algunos m, n enteros, con lo cual, xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. En particular, el grupo Z de enteros bajo la suma es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, Zn.
Los números reales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos con la multiplicación.
Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.
Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal, y por lo tanto, para todo subgrupo hay un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumas directas de grupos abelianos son también abelianos.
Propiedades
- Si n es un número natural y x un elemento de un grupo abeliano G (con notación aditiva), se puede definir nx = x + x + ... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), con lo que G se vuelve un módulo sobre el anillo Z de los enteros. De hecho, los módulos sobre Z no son otros que los grupos abelianos.
- Si f, g : G → H son dos homomorfismos entre grupos abelianos, su suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre G y H se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo.