Entero gaussiano

Un entero gaussiano es un número complejo en el que tanto la parte real como la imaginaria son números enteros.

El conjunto de los enteros de Gauss, provisto de la suma y la multiplicación ordinaria de los números complejos, forma un dominio de integridad conmutativo y unitario, generalmente se denota como ℤ[i], donde i designa la unidad imaginaria. Una estructura de esta naturaleza posee numerosas propiedades, agrupadas con el nombre de dominio de Dedekind. Además, lo que aún es más extraordinario, es un dominio euclídeo y por lo tanto factorial.

Los enteros de Gauss son muy utilizados en teoría de números algebraicos y en aritmética modular, por ejemplo para el estudio de ecuaciones diofánticas. Su utilización permitió a Carl Friedrich Gauss demostrar la ley de reciprocidad cuadrática.

Enteros gaussianos en el Plano complejo.

Formalmente, se definen como los números complejos que pueden ser descritos de la siguiente manera:

$\mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}.$

donde i² = -1.

Norma

La norma de un número gaussiano es el número natural definido como:

$N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}.$

La norma es multiplicativa, i.e.

$N(z\cdot w)=N(z)\cdot N(w).$

La norma guarda cierta similitud con el valor absoluto y su raíz cuadrada es la distancia euclídea del entero gaussiano a+bi al origen del plano complejo; La norma de los enteros gaussianos es adecuada para el estudio de la divisibilidad de estos.

Las unidades de Z[i] son, por lo tanto, precisamente aquellos elementos con norma 1, es decir, los elementos

1, −1, i y −i.

Factores

Se dice que el entero gaussiano b es un factor del entero gaussiano a, si existe c gaussiano no nulo tal que a= bc y se denota b|a.

• como ejemplo 4 + 3i = (2 -i) (1 +2i); 2 -i divide a 4 + 3i

• En caso de que el entero gaussiano no tenga divisores se denomina irreducible​

Como dominio de ideales principales

Los enteros gaussianos forman un dominio de ideales principales con las unidades 1, −1, i, y −i. Si x es un entero gaussiano, los cuatro números x, ix, −x, y −ix se llaman «asociados de x». Como cualquier dominio de ideales principal, los enteros gaussianos forman también un dominio de factorización única. Hay campos cuadráticos que tienen infinidad de unidades o sea que su norma es 1.​

Los elementos primos de Z[i] son también conocidos como primos gaussianos. Un asociado de un primo gaussiano es también un primo gaussiano. Los primos gaussianos son simétricos sobre los ejes real e imaginario. Los primos gaussianos que son enteros positivos son los números primos congruentes con 3 módulo 4, (sucesión A002145 en OEIS). No se podría referir uno únicamente a esos números como «los primos gaussianos», el término se refiere a todos los primos gaussianos, muchos de los cuales no están en Z.​ Para el caso 1 + i que es factor de 2​

Véase también

• Aritmética modular
• Número algebraico

Referencias

• Serge Lang, Àlgebra
• Pierre Samuel, Teoría algebraica de los números
• Jean-Pierre Serre, Curso de aritmética
• Belski, A.A. y Kaluzhinm L.A.: "División Inexacta".

Enlaces externos

• Entier de Gauss Vincent Lefèvre (en fránces)
• Applet de factorisation des entiers de Gauss (en inglés)
• Théorie algébrique des nombres Bas Hedixhoven Universidad de Rennes 1 2002 (en fránces)