Ley de reciprocidad cuadrática

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En matemática, dentro de la teoría de números la ley de reciprocidad cuadrática designa al "teorema áureo" que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas:

x^2\equiv p\ ({\rm mod}\ q)\quad
y^2\equiv q\ ({\rm mod}\ p)

donde p y q son números primos impares.[1] Esta proposición fue descubierta por Gauss a los 18 años de edad y la demostró un año después[2]

Enunciado[editar]

El enunciado del teorema áureo es el siguiente:

Teorema áureo (ley de reciprocidad cuadrática)

Si ninguno de los primos p o q pertenece a la sucesión 4k+1 entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión 4k+1 entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.

El enunciado puede simplificarse utilizando el símbolo de Legendre:

\left(\frac{p}{q}\right)=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{si}\ p\ \mathrm{es\ un\ cuadrado\ }mod\mathrm{\ }q, \\
-1 & \mathrm{en\ otro\ caso,}\end{matrix}\right.

entonces el enunciado del teorema puede resumirse de la siguiente forma:

 \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.

Como \frac{(p-1)(q-1)}{4} es par si alguno de los primos p o q es congruente con 1 mod 4, y es impar en otro caso,  \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) es igual a 1 si p o q es congruente con 1 mod 4, y es igual a –1 si ambos son congruentes con 3 mod 4.

Algunas de las demostraciones más sencillas de la ley de reciprocidad cuadrática utilizan el lema de Gauss que trata sobre residuos cuadráticos, y que él mismo utilizó en dos de sus ocho demostraciones.

Historia[editar]

El teorema (como conjetura) fue enunciado inicialmente por Euler en 1742 en una carta a Goldbach. Alrededor de medio siglo después, en 1798 Legendre publicó una demostración que se basaba en argumentos no probados.

El teorema fue, por primera vez, fehacientemente demostrado por Gauss,[3] en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae, donde da dos demostraciones del mismo. Gauss lo tenía en gran estima y lo denominó el teorema áureo.

Ya en el siglo XXI, en el libro Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, de Franz Lemmermeyer, publicado en 2000, aparecen citadas 196 demostraciones diferentes de la ley de reciprocidad cuadrática.

Tabla de características cuadráticas de los números primos[editar]

Claves
R q es un residuo (mod p)    q ≡ 1 (mod 4) o p ≡ 1 (mod 4) (o ambos)  
N q es no residuo (mod p)  
R q es un residuo (mod p) ambos q ≡ 3 (mod 4) y p ≡ 3 (mod 4)
N q es no residuo (mod p)  
q
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
p 3   N R N R N R N N R R N R N N N R R N R R N N R
5 N   N R N N R N R R N R N N N R R N R N R N R N
7 N N   R N N N R R N R N R N R N N R R N R N N N
11 R R N   N N N R N R R N N R R R N R R N N N R R
13 R N N N   R N R R N N N R N R N R N N N R N N N
17 N N N N R   R N N N N N R R R R N R N N N R R N
19 N R R R N R   R N N N N R R N N R N N R N R N N
23 R N N N R N N   R R N R N R N R N N R R N N N N
29 N R R N R N N R   N N N N N R R N R R N N R N N
31 N R R N N N R N N   N R N R N R N R R N N N N R
37 R N R R N N N N N N   R N R R N N R R R N R N N
41 N R N N N N N R N R R   R N N R R N N R N R N N
43 N N N R R R N R N R N R   R R R N R N N R R N R
47 R N R N N R N N N N R N N   R R R N R N R R R R
53 N N R R R R N N R N R N R R   R N N N N N N R R
59 R R R N N R R N R N N R N N R   N N R N R N N N
61 R R N N R N R N N N N R N R N N   N N R N R N R
67 N N N N N R R R R N R N N R N R N   R R N R R N
71 R R N N N N R N R N R N R N N N N N   R R R R N
73 R N N N N N R R N N R R N N N N R R R   R N R R
79 N R N R R N R R N R N N N N N N N R N R   R R R
83 R N R R N R N R R R R R N N N R R N N N N   N N
89 N R N R N R N N N N N N N R R N N R R R R N   R
97 R N N R N N N N N R N N R R R N R N N R R N R  

Otras leyes de reciprocidad[editar]

Existen otras leyes de reciprocidad: cúbica, bicuadrática y otras de grados superiores o de naturaleza algo diferente, aunque normalmente se encuentran fuera del ámbito de la aritmética de números enteros, y es necesario acudir a cuerpos de números algebraicos.

Notas y referencias[editar]

  1. Se habla de número primo impar al referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par.
  2. T. M. Apostol: Introducción a la teoría analítica de números, pág. 232 ISBN 84-291-5006-4
  3. Gauss, DA § 4, arts 107–150

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]