Ecuación diofántica

Se llama ecuación diofántica o ecuación diofantina a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras o naturales, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros. Un tipo particular de dichas ecuaciones son las ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas, las cuales tienen la forma $ax+by=c$.

Una condición necesaria y suficiente para que $ax+by=c\,$ con $a,b,c\,$ perteneciente a los enteros, tenga solución, es que el máximo común divisor de $a\,$ y $b\,$ divida a $c$.

Ejemplo

Un ejemplo de ecuación diofántica es: $x+y=5\,$.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de $x$ e $y$ a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para $(x,y)$: $(1,4)\lor (2,3)\lor (3,2)\lor (4,1)$.

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

En las ecuaciones diofánticas siguientes, $w,x,y$, y $z$ son las incógnitas y las otras letras son constantes conocidas:

$ax+by=c$	Esta es la ecuación diofantina lineal o identidad de Bézout.
$w^{3}+x^{3}=y^{3}+z^{3}$	La solución notrivial más pequeña en el ámbito de los enteros positivos es 123 + 13 = 93 + 103 = 1729. Fue enunciada como una propiedadevidente en 1729, un código de identificación de taxi (también denominado número de Hardy–Ramanujan) por Ramanujan a Hardy durante una reunión en 1917.​ Existe un número infinito de soluciones notriviales.​
Para n = 2 hay infinitas soluciones (x, y, z): el triple pitagóricos. Para valores enteros mayores de n, El último teorema de Fermat (afirmado inicialmente en 1637 por Fermat y probado por Andrew Wiles en 1995​) afirma que no hay soluciones enteras positivas (x, y, z).
$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$	Esta es la ecuación de Pell, que recibe su nombre del matemático inglés John Pell. Fue estudiada por Brahmagupta en el siglo VII, así como por Fermat en el siglo XVII.
${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$	La conjetura de Erdős-Straus afirma que, para cada entero positivo n ≥ 2, existe una solución en x, y, y z, todos como enteros positivos. Aunque no suele enunciarse en forma polinómica, este ejemplo es equivalente a la ecuación polinómica $4xyz=yzn+xzn+xyn=n(yz+xz+xy).$
$x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}$	Conjectured incorrectly by Euler to have no nontrivial solutions. Proved by Elkies to have infinitely many nontrivial solutions, with a computer search by Frye determining the smallest nontrivial solution, 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814. ​​

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica $Ax+By=C\,$ o identidad de Bézout tiene solución si y solo si $d=\mathrm {mcd} (A,B)$ (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.​​

Similarmente la ecuación $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=C$ tiene solución si y solo si $d=\mathrm {mcd} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ es un divisor de $C$.

Solución general

Supongamos la ecuación diofántica $Ax+By=C$. Solo tiene solución si $\mathrm {mcd} (A,B)=d|C\,$. Para buscar $\mathrm {mcd} (A,B)$ empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

${\begin{cases}x=x_{1}+\lambda {\cfrac {B}{d}}\\y=y_{1}-\lambda {\cfrac {A}{d}}\end{cases}}$

Donde $d=\mathrm {mcd} (A,B)$, $\lambda \in \mathbb {Z}$ y $x_{1}$ e $y_{1}$ son una solución particular de la ecuación.

Esta solución para números enteros contrasta con la solución de la misma ecuación cuando se considera que $A,B,C,x,y$ son números reales, que está formada por infinitas soluciones de la forma: $y={\frac {C-Ax}{B}}$ (suponiendo $B\neq 0$).

Solución particular

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da $x_{1}\,$ e $y_{1}\,$. Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica $6x+10y=104$

1. Buscamos el d = mcd(6, 10). A través del algoritmo de Euclides encontramos que $d=2$.
2. Como $d|C$ (donde "$|$" significa "divide a"), es decir, $2|104$, calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: $x_{1}=2$ e $y_{1}=-1$. La ecuación quedaría así: $6\cdot 2+10\cdot (-1)=2$.
3. Ahora tenemos una solución para la ecuación $6x+10y=2$. Con $x_{1}=2$ e $y_{1}=-1$. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por ${\frac {C}{d}}={\frac {104}{2}}=52$, tendremos la solución particular de nuestra ecuación original $6x+10y=104$. La ecuación quedaría así: $6\cdot 2\cdot 52+10\cdot (-1)\cdot 52=104$.
4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

$\left\{{\begin{array}{rccl}x&=&(2\cdot 52)&+\lambda \cdot {\frac {10}{2}}\\y&=&(-1\cdot 52)&-\lambda \cdot {\frac {6}{2}}\end{array}}\right.\forall \lambda \in \mathbb {Z}$

Solución por aritmética modular

Supongamos la siguiente ecuación diofántica: $3x+7y=1$

1. Convertimos la ecuación en congruencia, entonces quedaría:

$3x\equiv 1{\pmod {7}}$

2. Le sumamos o restamos el módulo al residuo, en este caso $1$; de manera que el residuo pueda ser divisible entre $3x$:

$3x\equiv 15{\pmod {7}}$

En este caso le sumamos 2•7.

3. Ya que ahora sí se puede dividir, hacemos lo siguiente:

$3x\div 3\equiv 15\div 3{\pmod {7}}$

4. Ahora convertimos la congruencia en ecuación:

$x=7n+5,n\in \mathbb {Z} \therefore x=5$

$x$ siempre será igual al residuo (en este ejemplo: +5), debido a que es el menor valor posible de $x$

Ya que sabemos que $x=5$, podemos encontrar el valor de $y$ resolviendo la ecuación lineal restante:

$3(5)+7y=1$

$7y\div 7=-14\div 7$

Entonces tenemos que $y=-2$. Podemos verificar que los valores sí cumplen la ecuación:

$3(5)+7(-2)=1$

$15-14=1$

$1=1$

Ecuación no lineal con dos incógnitas

La ecuación $x^{2}-y^{2}=a$

que se puede escribir como $(x+y).(x-y)=a$. Llamando a $x+y=m$; $x-y=n$ la ecuación se expresa como $m\cdot n=a$.

Sabemos que $m$ y $n$ tienen la misma paridad. Al resolver el sistema se obtiene que:

$x+y=m$ $x={m+n \over 2}$

$x-y=n$ $y={m-n \over 2}$

Ecuación pitagórica

Se llama ecuación pitagórica a la ecuación $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$ con $x,y,z\in \mathbb {Z}$. Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si $(x,y,z)$ es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

1. La terna alternando $x$ e $y$: $(y,x,z)$.
2. Una terna múltiplo $(ky,kx,kz)$.
3. Una terna con algún signo cambiado $(-x,y,z)$, $(x,-y,z)$ o $(y,x,-z)$.
4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de $x$, $y$, $z$ es la unidad, es decir, ${\mbox{mcd}}(x,y,z)=1$. En toda terna primitiva al menos uno de los números $x$ o $y$ es par y $z$ es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:​

${\begin{cases}x=u^{2}-v^{2}\qquad y=2uv\qquad z=u^{2}+v^{2}\\u,v\in \mathbb {N} \;\land \;u\neq v\ ({\mbox{mod}}\ 2)\;\land \;{\mbox{mcd}}(u,v)=1\end{cases}}$

Aporte de Platón

A Platón se le debe un aporte sobre el caso cuando él formula como los lados de un triángulo rectángulo, en números enteros $2n,n^{2}-1,n^{2}+1$, sin duda alguna tuvo influencia en el desarrollo matemático general.​

Ternas pitagóricas

Cuando los números enteros positivos $u$, $v$, $w$ representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la terna (u, v, w) se dice que es una terna pitagórica. Por ejemplo $(3,4,5)$, $(7,24,25)$ y $(9,40,41)$ son ternas pitagóricas.​

Ecuación diofántica cúbica

La ecuación $x^{3}+y^{3}=1729$ fue resuelta automáticamente por Ramanujan, quien dio como soluciones -contemplando las cifras que aparecían en la placa de un automóvil- los pares ordenados (1,12), (12,1) (10,9) (9,10).​

El décimo problema de Hilbert

En 1900, David Hilbert propuso una famosa lista de problemas cuya solución se considera que concedería grandes aportaciones a las matemáticas. Uno de ellos, el décimo problema concretamente, se refería a la solubilidad general de las ecuaciones diofánticas, que a principios de siglo era un problema abierto. El problema fue resuelto finalmente en 1970, cuando un resultado novedoso en lógica matemática conocido como teorema de Matiyasevich contestaba negativamente al problema de Hilbert: no existe un procedimiento general que permita establecer cuantas soluciones tiene una ecuación diofántica.

Véase también

• Teoría de números
• Décimo problema de Hilbert
• Aritmética modular

Bibliografía

• Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics 30. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8. Zbl 0188.34503. 
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020. 
• Shorey, T. N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics 87. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011. 
• Smart, Nigel P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations. London Mathematical Society Student Texts 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X. Zbl 0907.11001. 
• Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (Second Edition edición). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Diophantine Equation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ecuación diofántica en PlanetMath.

• Datos: Q905896
• Multimedia: Diophantine equation / Q905896