Matriz de Cartan

En matemáticas, el término matriz de Cartan tiene tres significados. Todos estos llevan el nombre del matemático francés Élie Cartan. Curiosamente, las matrices de Cartan en el contexto del álgebra de Lie fueron investigadas por primera vez por Wilhelm Killing, mientras que la forma de Killing se debe a Cartan.

Álgebras de Lie

Una matriz de Cartan generalizada (simetrizable) es una matriz cuadrada $A=(a_{ij})$ con entradas integral tales que

1. Para entradas diagonales, $a_{ii}=2$.
2. Para entradas no diagonales, $a_{ij}\leq 0$.
3. $a_{ij}=0$ si y solo si $a_{ji}=0$
4. $A$ se puede escribir como $DS$, donde $D$ es matriz diagonal y $S$ es matriz simétrica.

Por ejemplo, la matriz de Cartan para G₂ se puede descomponer como tal:

${\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.$

La tercera condición no es independiente sino que en realidad es una consecuencia de la primera y cuarta condiciones.

Siempre podemos elegir una D con entradas diagonales positivas. En ese caso, si S en la descomposición anterior es positive definite, entonces se dice que A es una matriz de Cartan.

La matriz de Cartan de un álgebra de Lie simple es la matriz cuyos elementos son los producto escalar

$a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}$​

(a veces llamados enteros de Cartan) donde r_i son los simple roots del álgebra. Las entradas son integrales de una de las propiedades de root. La primera condición se deriva de la definición, la segunda del hecho de que para $i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ es una raíz que es una combinación lineal de las raíces simples r_i y r_j con un coeficiente positivo para r_j y así , el coeficiente de r_i tiene que ser no negativo. La tercera es cierta porque la ortogonalidad es una relación simétrica. Y por último, dejemos $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ y $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$. Debido a que las raíces simples abarcan un Espacio euclídeo, S es definido positivo.

Por el contrario, dada una matriz de Cartan generalizada, se puede recuperar su correspondiente álgebra de Lie. (Consulte Kac–Moody algebra para obtener más detalles).

Clasificación

Una matriz $n\times n$ A es descomponible si existe un subconjunto propio $I\subset \{1,\dots ,n\}$ no vacío tal que $a_{ij}=0$ siempre que $i\in I$ y $j\notin I$. A es indecomponible si no es descomponible.

Sea A una matriz de Cartan generalizada indescomponible. Decimos que "A" es de "tipo finito" si todos sus menor (álgebra lineal) son positivos, que "A" es de "tipo afín" si sus menores principales propios son positivos y A tiene determinante (matemática) 0 y, en caso contrario, A es de tipo indefinido.

Las matrices indescomponibles de tipo finito clasifican los álgebra de Lie simple de dimensión finita (de tipos $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$), mientras que las matrices indecomponibles de tipo afín clasifican los affine Lie algebra (por ejemplo, sobre algún campo algebraicamente cerrado de característica 0).

Determinantes de las matrices de Cartan de las álgebras de Lie simples

Los determinantes de las matrices de Cartan de las álgebras de Lie simples se dan en la siguiente tabla (junto con A₁=B₁=C₁, B₂=C₂, D₃=A₃, D₂=A₁A₁, E₅=D₅, E₄=A₄ y E₃=A₂A₁ ).​

An	Bn	Cn	Dn n ≥ 3	En 3 ≤ n ≤ 8	F4	G2
n + 1	2	2	4	9 − n	1	1

Otra propiedad de este determinante es que es igual al índice del sistema de raíces asociado, es decir, es igual a $|P/Q|$ donde P, Q denota la red de pesos y la red de raíces, respectivamente.

Representaciones de álgebras de dimensión finita

En modular representation theory, y más generalmente en la teoría de representaciones de álgebra asociativa A de dimensión finita que no semisimple, una matriz de Cartan se define considerando un conjunto (finito) de principal indecomposable module. y escribir serie de composición para ellos en términos de módulo simple, lo que produce una matriz de números enteros que cuenta el número de apariciones de un módulo irreducible.

Matrices de Cartan en la teoría M

En Teoría M, se puede considerar una geometría con two-cycles que se cruza entre sí en un número finito de puntos, en el límite donde el área de los dos ciclos llega a cero. En este límite, aparece un local symmetry group. Se conjetura que la matriz de intersection number de una base de dos ciclos es la matriz de Cartan del Álgebra de Lie de este grupo de simetría local.​

Esto se puede explicar de la siguiente manera. En la teoría M se tienen solitón, que son superficies bidimensionales llamadas "membranas" o "2-branas". Una 2-brana tiene un tension y, por lo tanto, tiende a encogerse, pero puede rodear dos ciclos, lo que evita que se reduzca a cero.

Se puede compactify una dimensión que es compartida por todos los dos ciclos y sus puntos de intersección, y luego tomar el límite donde esta dimensión se reduce a cero, obteniendo así un dimensional reduction sobre esta dimensión. Luego se obtiene el tipo IIA teoría de cuerdas como límite de la teoría M, con 2 branas envolviendo dos ciclos ahora descritos por una cadena abierta estirada entre D-brana. Hay un grupo de simetría local Grupo circular para cada D-brana, parecido al degree of freedom de moverla sin cambiar su orientación. El límite donde los dos ciclos tienen área cero es el límite donde estas D-branas están una encima de la otra, de modo que se obtiene un grupo de simetría local mejorado.

Ahora, una cuerda abierta estirada entre dos D-branas representa un generador de álgebra de Lie, y el commutator de dos de esos generadores es un tercero, representado por una cuerda abierta que se obtiene pegando los bordes de dos cuerdas abiertas. La última relación entre diferentes cuerdas abiertas depende de la forma en que las 2-branas pueden cruzarse en la teoría M original, es decir, en la intersección n

Números de dos ciclos. Por tanto, el álgebra de Lie depende completamente de estos números de intersección. La relación precisa con la matriz de Cartan se debe a que esta última describe los conmutadores de los simple root, que están relacionados con los dos ciclos en la base que se elija.

Los generadores en Cartan subalgebra están representados por cadenas abiertas que se extienden entre una brana D y ella misma.

Véase también

• Diagrama de Dynkin
• Exceptional Jordan algebra
• Fundamental representation
• Forma de Killing
• Simple Lie group

Referencias

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory: A first course. Graduate Texts in Mathematics 129. Springer-Verlag. p. 334. ISBN 0-387-97495-4. 
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics 9. Springer-Verlag. pp. 55-56. ISBN 0-387-90052-7. doi:10.1007/978-1-4612-6398-2. 
• Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd edición). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6. .

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Matriz de Cartan», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Cartan matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.