Menor (álgebra lineal)

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En álgebra lineal, un menor de una matriz A es el determinante de alguna submatriz, obtenido de A mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas (primeros menores) se necesitan para calcular la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

Definición[editar]

Sea A una matriz de m × n y k un entero con 0 < km, y kn. Un menor de orden k × k de A es el determinante de una matriz k × k obtenida de A mediante la eliminación de mk filas y nk columnas.

Puesto que hay:

{m \choose k} (leído como "m combinaciones de k")

maneras de escoger k filas de m filas, y hay

{n \choose k}

maneras de escoger k columnas de n columnas, hay en total

{m \choose k} \cdot {n \choose k}

menores de tamaño k × k.

Notación[editar]

El menor (i,j) (a menudo denotado como Mij) de una n × n matriz cuadrada A es definido como el determinante de la matriz (n − 1) × (n − 1) formada mediante la eliminación de A de su iésima fila y su jésima columna. Un menor (i,j) puede ser referido también como (i,j)ésimo menor, o simplemente menor i,j .

Mij es también llamado el menor de un elemento aij de la matriz A.

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columnade una matriz cuadrada A (tal como Mij) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.[1]

Menores principales[editar]

Los menores principales de una matriz A son los determinantes de un conjunto de submatrices cuadradas de A.Si A una matriz cuadrada de orden n se define M_{i} como una submatriz de A tal que esté compuesta por las i primeras filas y columnas de A. Los menores principales de A son los determinantes de las matrices M_1, M_2, \ldots, M_n.

Ejemplo[editar]

Tomando A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 6 & 7 \\
4&9&2\end{bmatrix}

Definimos las submatrices:

M_1 = \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}, \;
M_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}, \;
M_3 = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 6 & 7 \\
4&9&2\end{bmatrix}

Los menores principales son los determinantes de estas submatrices:

|M_1|=1, \; |M_2| = -2, \; |M_3| = |A| = 25

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.

Enlaces externos[editar]