Bicondicional

Conectivas lógicas
Tautología $\top$ Conjunción opuesta $\uparrow$ Implicación opuesta $\leftarrow$ Condicional material $\rightarrow$ Disyunción lógica $\lor$ Negación lógica $\lnot$ Disyunción exclusiva $\nleftrightarrow$ Bicondicional $\leftrightarrow$ Afirmación lógica Disyunción opuesta $\downarrow$ Adjunción lógica $\nrightarrow$ Adjunción opuesta $\nleftarrow$ Conjunción lógica $\land$ Contradicción $\bot$

En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado en español como ssi), es un operador lógico binario, es decir, una función $\leftrightarrow :B\times B\rightarrow B$, siendo B cualquier conjunto con |B|=2, aunque es común que se considere a B como B={V,F} o B={0,1}. El bicondional también funge como conector lógico, permitiendo formular expresiones de la forma «P si y solo si Q», que es verdadera en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad. En otras palabras, que si P ocurre entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.

Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P. También se conoce con el nombre de coimplicación.​

En Lógica es usual la notación $P\leftrightarrow Q$, mientras que en matemáticas es más común la notación $P\iff Q$ para denotar la equivalencia entre dos enunciados; aunque cabe destacar que $\leftrightarrow$ no significa lo mismo que $\iff$, ya que el primero es un operador o conector lógico, que permite combinar dos proposiciones mas simples, mientras que el segundo indica una relación de equivalencia lógica entre dos proposiciones. Es común que se usen indistintamente ambas notaciones, mas no significan lo mismo.

Ejemplos:

• «$2<10\leftrightarrow 5|20$ » y «$5>9\leftrightarrow {\sqrt {17}}<{\sqrt[{3}]{6}}$ » son bicondicionales verdaderos.
• $c={\text{mcm}}(a,b)\iff c\mathbb {Z} =a\mathbb {Z} \ \cap \ b\mathbb {Z}$ , donde $n\mathbb {Z}$ denota a los múltiplos enteros de n.

Definición

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas :

$p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$.

De manera más precisa, el operador bicondicional tiene la siguiente tabla de verdad:​​

si y solo si

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Representación y lectura

Normalmente se usan los símbolos ⇔ o ↔ para denotar el bicondicional, quedando así:

$P\leftrightarrow Q$ o $P\Leftrightarrow Q$.

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

Dos enunciados se dicen equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad, y se simboliza con ≡.​ Este símbolo también puede leerse "es equivalente a". Cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes su conexión con un bicondicional es llamada tautología.​

Adicionalmente, el bicondicional es equivalente a la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Ejemplos

Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales.

Por ejemplo, nótese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes:

Una persona es mayor de edad si posee legalmente el carné de conductor.

O bien,

Una persona es mayor de edad si y sólo si posee legalmente el carné de conductor.

La primera proposición es correcta, puesto que es imposible poseer legalmente el carné de conducir siendo menor de 18 años. Por tanto, si se tiene el carné, se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad.​

La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carné de conducir" y "ser mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin tener el carné de conducir.​