Variedad algebraica

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En geometría algebraica, una variedad algebraica es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un polinomio (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica clásica (y en ciertos aspectos moderna).

Desde un punto de vista histórico, el teorema fundamental del álgebra estableció la relación entre el álgebra y la geometría al indicar que un polinomio de una variable en los números complejos queda determinado por su conjunto de raíces, que es un objeto geométrico inherente. Construyendo sobre este resultado, el Nullstellensatz de Hilbert establece una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los subconjuntos del espacio afín. Utilizando el Nullstellensatz y sus resultados asociados, es posible capturar la noción geométrica de una variedad en términos algebraicos como también hacer que la geometría entienda sobre temas de la teoría de anillos.

Definición[editar]

Sea \scriptstyle \mathbb{K} un cuerpo. Sea \scriptstyle \mathbb{K}[x_1, ..., x_n] el anillo de polinomios en las variables \scriptstyle x_1,...,x_n y coeficientes en el cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Sea \scriptstyle S \subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]. Se define la variedad afín determinada por \scriptstyle S (denotada por \scriptstyle V(S)) al conjunto:

V(S):=\{a\in \mathbb{K}^n: f(a)=0, f \in S\}.

Es decir, V(S) representa el conjunto de puntos del espacio afín \scriptstyle \mathbb{K}^n en los que se anulan todos los polinomios de \scriptstyle S.

Véase también[editar]

Referencias[editar]