Orden monomial

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En Álgebra, un orden monomial es una ordenación del conjunto de monomios de un anillo, que se utiliza para poder establecer un algoritmo de división en polinomios de varias variables.

Definición[editar]

Sea un anillo conmutativo y un conjunto de indeterminadas. Sea el conjunto de monomios sobre (como es habitual, denotamos por al monomio , y dado el multiíndice , denotarmos por al monomio ; aquí entenderemos por monomios a productos de indeterminadas, sin coeficientes en el anillo). Se dice que < es un orden monomial si se cumple que:

  • < es un orden total en .
  • Dados de manera que , entonces se cumle que .

En algunos textos se exige otra condición, la de que < sea un buen orden en . Nosotros denominaremos orden monomial global a todo orden monomial que también es buen orden. Esto se hace así para permitir ciertos tipos de órdenes monomiales sobre anillos locales que resultan ser muy útiles.

Orden monomial global[editar]

Un orden monomial < sobre se dice que:

  • es artiniano si todo subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (es decir, es buen orden);
  • es global si toda variable es mayor que la unidad del anillo, es decir, cualquiera que sea el ;
  • refina el orden parcial definido por la división si se cumple que si divide a .

El hecho de que un orden monomial sea global es equivalente a que sea artiniano y a que refine el orden parcial definido por la división.

Orden monomial local[editar]

Un orden monomial < sobre se dice que es local si la unidad del anillo es mayor que toda variable, es decir, si cualquiera que sea el .

Referencias[editar]

  • David A. Cox, John B. Little, Don O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (Springer Verlag, 2ª edición, 1997) ISBN 0-387-9480-2.