Cúbica alabeada

En matemáticas, una cúbica alabeada es una curva suave y racional C de grado tres en el espacio proyectivo tridimensional P³.^[1] Es un ejemplo fundamental de una curva oblicua. Es esencialmente única respecto a la transformación proyectiva (por lo tanto, es la cúbica alabeada). Generalmente se considera el ejemplo más simple de una variedad proyectiva que no es lineal o hipersuperficial, y se da como tal en la mayoría de los libros de texto sobre geometría algebraica. Es el caso tridimensional de la curva normal racional, y es la imagen de una aplicación de Veronese de grado tres sobre la recta proyectiva.

Definición[editar]

La cúbica alabeada se da más fácilmente de forma paramétrica como la imagen de la aplicación

\nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}

en la que se asigna a la coordenada homogénea $[S:T]$ el valor

\nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].

En un entorno coordenado del espacio proyectivo, la aplicación es simplemente la curva de momento

\nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})

Es decir, es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín $(x,x^{2},x^{3})$ .

De manera equivalente, es una variedad proyectiva, definida como el lugar geométrico cero de tres cuádricas lisas. Dadas las coordenadas homogéneas $[X:Y:Z:W]$ en P³, es el lugar geométrico cero de los tres polinomios homogéneos

F_{0}=XZ-Y^{2}

F_{1}=YW-Z^{2}

F_{2}=XW-YZ.

Se puede verificar que estas tres formas cuadráticas desvanecen de manera idéntica cuando se usa la parametrización explícita anterior; es decir, sustituyendo x³ por X, y así sucesivamente.

De hecho, el ideal homogéneo de la cúbica alabeada C es generado por tres formas algebraicas de grado dos en P³. Los generadores del ideal son

\{XZ-Y^{2},YW-Z^{2},XW-YZ\}.

Propiedades[editar]

La cúbica alabeada tiene numerosas propiedades elementales:

Es la intersección completa teórica de los conjuntos $XZ-Y^{2}$ y $Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)$ , pero no una intersección completa de esquema teórico o ideal teórico (el ideal resultante no es radical, ya que $(YW-Z^{2})^{2}$ le pertenece, pero no así $YW-Z^{2}$ ).
Cualesquiera cuatro puntos en C abarcan P³.
Dados seis puntos en P³ sin cuatro coplanares, existe una cúbica alabeada única que los atraviesa.
La unión de las rectas tangente y secante (la variedad secante) de una cúbica alabeada C llena P³ y las rectas están separadas por pares, excepto en los puntos de la curva misma. De hecho, la unión de las líneas tangente y secante de cualquier curva algebraica lisa no plana es tridimensional. Además, cualquier variedad algebraica suave con la propiedad de que cada longitud de cuatro subesquemas abarca P³ tiene la propiedad de que las rectas tangente y secante son disjuntas por pares, excepto en los puntos de la variedad misma.
La proyección de C en un plano desde un punto en una recta tangente de C produce una cúbica cuspidal.
La proyección desde un punto en una recta secante de C produce una cúbica nodal.
La proyección desde un punto sobre C produce una sección cónica.