Usuario:Envilchez/Taller

Este será el taller en el cual realize las operaciones a llevar a cabo del cuaderno de bitácora, por lo cual, situaré aquí una copia de las especificaciones escritas en él sobre el proyecto:

Contribuyente en la Wikipedia en español: envilchez https://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:Envilchez

Me hago cargo de llevar a cabo las siguientes contribuciones mayores en la Wikipedia en español, las cuales se regirán por los siguientes temas a desarrollar, no sólo en la propia wikipedia, si no en la misma epistemowikia, para además de desarrollar el proyecto propuesto en la asignatura, ayudar a mis compañeros con la información que me comprometo a difundir, y a ayudar a los posibles visitantes de la página:

• Lógica: Hablaré sobre la Lógica de Sheffer y Pierce. También sobre <<El acertijo más difícil del mundo>> de George Boolos
• Algoritmos: Desarrollo sobre el algoritmo de Euclides y de algoritmos como funciones.
• Teoría combinatoria: Investigaré sobre el triángulo de Pascal, los cuadrados mágicos y los coeficientes binomiales.
• Teoría de juegos: Juegos de información perfecta. Tanto su funcionamiento, como curiosidades de estos, serán publicados en el artículo sobre los mismos

Las contribuciones a Wikipedia en español, así como publicar las versiones oficiales de los artículos publicados aquí y en wikipedia, serán actualizados allí una vez que aquí estén en su versión final en esta página(cada artículo).

Enlace a mi cuaderno de bitácora en la epistemowikia: [1]

Portapapeles Acertijo lógico más difícil

$p=1$

$q=0$

$p^{q}$

$p^{q}\Leftrightarrow a+c=b+c$

p	q	p^q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p↔q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Portapapeles Algoritmo Euclides

#include <iostream>
using namespace std;

int Euclides(int dividendo, int divisor){
	int resto;
	while(divisor!=0){                      //El objetivo del bucle es
		resto=dividendo%divisor;            //hacer que el divisor siempre
		dividendo=divisor;                  //divida al resto, y así,
		divisor=resto;                      //cuando este llegue a 0,
	}                                       //el último divisor será el MCD
	return dividendo;                       //como indica el Algoritmo.
}

int EuclidesR(int dividendo, int divisor){
	int resto;
	if(divisor!=0){
		resto=dividendo%divisor;
		dividendo=EuclidesR(divisor,resto);
	}
	return dividendo;
}

int EuclidesExtendido(int dividendo,int divisor){
	int s=1;
	int t=0;
	int s2=0;
	int t2=1;
	int coc;
	int resto;
	while(divisor!=0){                      //Se definen previamente las componentes extra de la ecuación
		resto=dividendo%divisor;            //MCD(a,b)=a(s)+b(t); s con 1 y t con 0, ya que es lo que resulta
		coc=dividendo/divisor;              //al hacer las divisiones correspondientes con el
		dividendo=divisor;                  //algoritmo tradicional de Euclides.
		s=s2;                               //A partir de este punto, se suceden estas variables de la forma: s2,t2;s3,t3...
		t=t2;                               //hasta llegar al punto de partida(inversión) multiplicando cada s' y t' por
		divisor=resto;                      //coc(cociente) y sustiruir en la fórmula para calcular el MCD.
		s2=(s-s2)*coc;
		t2=(t-t2)*coc;
	}
	return dividendo;
}

int EuclidesRext(int dividendo, int divisor,int s,int t,int s2,int t2){
	int coc;
	int resto;
	if(divisor!=0){
		resto=dividendo%divisor;
		coc=dividendo/divisor;
		dividendo=EuclidesRext(divisor,resto,s2,t2,(s-s2)*coc,(t-t2)*coc);
	}
	return dividendo;
}

int main() {
	cout<<Euclides(5,10)<<endl;
	cout<<EuclidesR(5,10)<<endl;
	cout<<EuclidesRext(5,10,1,0,0,1)<<endl;
	cout<<Euclides(123,45)<<endl;
	cout<<EuclidesR(123,45)<<endl;
	cout<<EuclidesRext(123,45,1,0,0,1)<<endl;
	cout<<Euclides(100,58)<<endl;
	cout<<EuclidesR(100,58)<<endl;
	cout<<EuclidesRext(100,58,1,0,0,1)<<endl;
	cout<<Euclides(1,5)<<endl;
	cout<<EuclidesR(1,5)<<endl;
	cout<<EuclidesRext(1,5,1,0,0,1)<<endl;
	return 0;
}

Portapapeles triángulo de pascal

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, que introdujo esta notación en 1654 en su Traité du triangle arithmétique.Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos y persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.

Construcción del triángulo de Pascal

El Triángulo de Pascal se construye siguiendo un patrón como el que se muestra en la figura de abajo.

Se comienza desde la cúspide con el número «1» hacia abajo(infinito), a modo de "árbol"; se clasifica en filas, empezando por la fila cero(el «1» de la cúspide). Este "árbol" tiene nodos, que son cada número que compone el triángulo. Si sumamos dos nodos nos dará de resultado el nodo situado debajo de estos dos, y así sucesivamente.

Las diagonales que empiezan desde el «1» situado en la cabeza del triángulo valen siempre 1.

Uso general

Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios.

Las potencias de binomios vienen dadas por la fórmula: $(a+b)^{n}$, dónde a y b son variables cualesquiera y n el exponente que define la potencia. Esta expresión se denomina se denomina binomio de Newton.

Esta fórmula del binomio de Newton desarrolla los coeficientes de cada fila en el triángulo de Pascal. Es por esto que existe una estrecha relación entre el triángulo de Pascal y los binomios de Newton.

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de él.

Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton

Todas las cifras escritas en cada fila del triángulo corresponden a los coeficientes del desarrollo de las potencias del binomio de Newton.

Unos ejemplos de la serie que describe este comportamiento son:

$(a+b)^{2}=1a^{2}+2ab+1b^{2}\quad$

$(a+b)^{3}=1a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1b^{3}\quad$

$\dots$

Con estos ejemplos se concluye que la serie de la expresión general que los desarrolla es:

$(a+b)^{n}=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}...+b^{n}$

De esta forma, los coeficientes desarrollados de la forma (a+b)n se encuentran en la fila «n+1» del Triángulo de Pascal.

También se puede generalizar este resultado para cualquier valor de $n\in {N}$ por inducción matemática.

Si a cada nodo de este triángulo en cada fila lo denominamos $Z$, nos quedaría la serie que describe la expresión general del modo:

$(a+b)^{n}=$ Z₁ $a^{n}+$ Z₂ $a^{n-1}b+$ Z₃ $a^{n-2}b^{2}...+$ Z_n $b^{n}$

En esta serie $Z\in {N}$, dónde $Z$ va desde $1$ hasta $n$.

Combinatoria en el triángulo de Pascal

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula(también llamada regla de Pascal) combinatoria.

Esta fórmula o regla explica que los coeficientes(nodos del "árbol") de una fila dada del triángulo, se pueden calcular con la fórmula combinatoria de combinaciones de $n$ elementos de $k$ en $k$; expresado matemáticamente: $n \choose k$, dónde $n$ es la fila - $1$ y $k$ la posición en la fila.

Todo esta propuesta de correlato entre combinatoria y el triángulo de Pascal viene dada por la regla general antes mencionada:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}\quad {\text{para todo}}\quad 0\leq k\leq n;\quad n,k\in \mathbb {N}$

Por ejemplo, para el binomio:

$(a+b)^{3}$, tendríamos lo siguiente:

• Quedarían cuatro nodos(elementos compuestos por a, b y coeficiente correspondientes) en la ecuación desarrollada del binomio, número el cual se refiere a la fila en la que se encuentra:

$(a+b)^{3}=$ 1 $a^{3}+$ 3 $a^{2}b+$ 3 $ab^{2}+$ 1 $b^{3}$

• Si expresamos los coeficientes del triángulo de la forma combinatoria quedaría lo siguiente:

${0 \choose 0}$ ${1 \choose 0}\quad \quad \quad {1 \choose 1}$ ${2 \choose 0}\quad \quad \quad {2 \choose 1}\quad \quad \quad {2 \choose 0}$ ${3 \choose 0}\quad \quad \quad {3 \choose 1}\quad \quad \quad {3 \choose 2}\quad \quad \quad {3 \choose 3}$ $\quad \leftarrow \quad fila\quad correspondiente\quad a\quad (a+b)^{3}$

• Cuyo triángulo correspondiente sería:

$1$ $1\quad \quad 1$ $1\quad \quad 2\quad \quad 1$ $1\quad \quad 3\quad \quad 3\quad \quad 1$ $\quad \leftarrow \quad fila\quad correspondiente\quad a\quad (a+b)^{3}$

Propiedades del triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen el mismo valor debido a la propiedad de simetría $\scriptstyle {n \choose {n-p}}={n \choose p}$. Las casillas exteriores (en azul), tienen valor nulo, y las casillas en violeta, proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.

Una vez sentadas las bases del intrínseco correlato existente entre estos dos campos de las matemáticas, véanse las propiedades de estos.

Esta imagen representa el triángulo de Pascal matricialmente, y además aplicable a combinatoria. Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número de la fila n y la columna p, corresponde a $n \choose p$, o también denotado como $\mathbf {C} _{n}^{p}$ ($\mathbf {C}$ por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos (0). Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:

• Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que ${n \choose {n-p}}={n \choose p}.$

• Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que ${n \choose p}=0$ cuando $p>n$.

• Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales ${n \choose p}+{n \choose {p+1}}={{n+1} \choose {p+1}}.$

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de $(1+1)^{n}=2^{n}$ es

${n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n},$

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

Otras interpretaciones o representaciones del triángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

La ilustración al comienzo del artículo muestra el triángulo de Pascal dibujado como un triángulo equilátero. Es posible «enderezarlo» de tal forma que su dibujo quede como un triángulo rectángulo. De esta forma, a la izquierda queda una columna de números «1». La siguiente columna deja un lugar vacío en la primera fila y sigue con la sucesión de números naturales: $1,2,3,4,\dots ,n,\dots$ La tercera columna deja dos filas vacías y comienza con la sucesión de los números triangulares: $1,3,6,10,15,\dots$ Dibujado de esta manera es fácil ver que:

• Cada número en una columna cualquiera es igual a la suma parcial de los elementos de la columna anterior (a la izquierda) hasta la fila anterior en orden descendente.
• La tercera columna es la sucesión de los números triangulares; la cuarta, la de los números tetraédricos; la quinta, la de los números pentaédricos, y así sucesivamente.

Potencias en base 2

También se pueden encontrar las potencias en base 2 de la forma $2^{n},\quad n\in {N}$ como las sumas sucesivas de los coeficientes de las filas, siendo $n$ la fila en la que se encuentra la potencia $2^{n}$:

$2^{0}=1$

$2^{1}=1+1$

$2^{2}=1+2+1$

$2^{3}=1+3+3+1$

$2^{4}=1+4+6+4+1$

$\dots$

Sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal

Imagen extraída del artículo Sucesión de Fibonacci

En el triángulo de Pascal se puede apreciar una relación entre un modo de sumar las diagonales y la sucesión de Fibonacci.

Como se puede apreciar en la imagen de la derecha, las sumas sucesivas de las diagonales desde arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda componen la sucesión de Fibonacci.

Números primos

Existe una propiedad sobre el triángulo de Pascal que indica que si el primer elemento de una fila(sin contar los «1») es un número primo, todos los demás de la fila serán divisibles por él.

Ejemplo:

$En\quad la\quad fila\quad 11\rightarrow 1\quad 11\quad 55\quad 165\quad 330\quad 462\quad 462\quad 330\quad 165\quad 55\quad 1$;

El 55,165,330 y 462 son divisibles por 11.