Secuencia de Riesz

En matemáticas, una secuencia de vectores (x_n) en un espacio de Hilbert $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ es una secuencia de Riesz si existen constantes $0<c\leq C<+\infty$ tal que

$c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

para todas las secuencias de escalares (a_n) en el espacio ℓ². Una secuencia de Riesz es llamada base de Riesz si

${\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H$ .

Teoremas

Si H es un espacio finito, entonces toda base de H es una base de Riesz.

Dado $\varphi$ en el espacio L^p L²(R), y sea

$\varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)$

y sea ${\hat {\varphi }}$ la transformada de Fourier de ${\varphi }$. Dadas las constantes c y C con $0<c\leq C<+\infty$. Entonces tenemos las siguientes equivalencias:

$1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

$2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C$

La primera de las condiciones es la definición para que (${\varphi _{n}}$) forme una base de Riesz para el espacio generado por (${\varphi _{n}}$).

Véase también

• Base ortonormal
• Espacio de Hilbert
• Marco de un espacio vectorial

Referencias

• Christensen, Ole (2001), «Frames, Riesz bases, and Discrete Gabor/Wavelet expansions», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 38 (3): 273-291, doi:10.1090/S0273-0979-01-00903-X .
• Mallat, Stéphane (2008), A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way (3ra edición), pp. 46-47, ISBN 9780123743701 .