Representación decimal

En matemáticas, la representación decimal es una manera de escribir números reales positivos, por medio de potencias del número 10 (negativas y/o positivas). En el caso de los números naturales, la representación decimal corresponde a la escritura en base 10 usual; para los números racionales, se obtiene una representación decimal limitada, o ilimitada periódica si son números periódicos; si son irracionales, la representación decimal es ilimitada y no periódica.

Definición matemática

La representación decimal de un número real no negativo r, es una expresión matemática escrita tradicionalmente como una serie del tipo

r=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}

en donde a₀ es un entero no negativo, y a₁, a₂, … son enteros tales que 0 ≤ a_i ≤ 9 (son los llamados «dígitos» de la representación decimal). Si la secuencia de dígitos es finita, los a_i restantes se asumen como 0. Si no se consideran secuencias infinitas de 9's, la representación es única.^[1]

El número definido por una representación decimal también admite la siguiente escritura:

r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}\dots .\,

En tal caso, a₀ es la parte entera de r, no necesariamente entre 0 y 9, y a₁, a₂, a₃, … son los dígitos que forman la parte fraccionaria de r.

Ambas notaciones son, por definición, el límite de la sucesión:

r=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}

.

Aproximación a números reales

Véase también: Aproximación diofántica

Todo número real puede ser aproximado al grado de precisión deseado, por medio de números racionales que poseen representaciones decimales finitas. En efecto, sea $x\geq 0$ ; para cada número natural $n\geq 1$ hay un número decimal exacto $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ tal que

r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.\,

Demostración
Sea $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$ , con $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$ . Entonces $p\leq 10^{n}x<p+1$ , de donde el resultado se obtiene al dividir entre $10^{n}\$ .

Caso de los números enteros

Todo número entero posee una escritura natural en el sistema de numeración decimal. Para obtener su representación decimal es suficiente con escribir 10⁰ como denominador.

Caso de los números decimales

Un número decimal (finito) es un número que se puede escribir de la forma ${\frac {N}{10^{n}}}$ con N y n números enteros. Un número decimal posee entonces una representación decimal limitada compuesta por potencias negativas de 10. Recíprocamente: todo número que posee una representación decimal limitada, es un número decimal.

Caso de los números racionales

La expansión decimal de un número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si y solo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2ⁿ5^m, donde m y n son enteros no negativos.

Demostración
Si la expansión decimal de x termina en ceros, o si $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$ para algún n, entonces el denominador de x es de la forma 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ. A su vez, si el denominador de x es de la forma 2ⁿ5^m, entonces $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ para algún p.