Reglas de derivación

Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

Reglas elementales de diferenciación

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( $\mathbb {R}$ ) que regresan valores reales, es decir, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ .

La diferenciación es lineal

Para cualesquier funciones $f$ y $g$ y cualesquiera números reales $a$ y $b$ , la derivada de la función $h(x)=af(x)+bg(x)$ con respetar a $x$ es

h'(x)=af'(x)+bg'(x).

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

{\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.

Casos especiales incluyen:

La regla del producto por una constante

(af)'=af'

La regla de suma

(f+g)'=f'+g'

La regla de la resta

(f-g)'=f'-g'.

La regla de producto

Para las funciones $f$ y $g$ , la derivada de la función $h(x)=f(x)g(x)$ con respecto a $x$ es

h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

En la notación de Leibniz esto se escribe como

{\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.

La regla de cadena

La derivada de la función $h(x)=f(g(x))$ es

h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

{\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),

a menudo abreviado a

{\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.

La regla de la función inversa

Si la función $f$ tiene como función inversa $g$ , esto es, $g(f(x))=x$ y $f(g(y))=y$ entonces

g'={\frac {1}{f'\circ g}}.

En Leibniz notación esto se escribe como

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.

Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciproco

La regla de la potencia

Si $f(x)=x^{r}$ , para cualquier número real $r\neq 0,$ entonces

f'(x)=rx^{r-1}.

cuando $r=1,$ esto se convierte en el caso especial que si $f(x)=x$ entonces $f'(x)=1.$

Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíproca

La derivada de $h(x)={\frac {1}{f(x)}}$ para cualquier función $f$ es:

h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}

siempre que $f(x)\neq 0$ para toda $x\in \mathbb {R}$ .

En la notación de Leibniz esto se escribe como

{\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

La regla de cociente

Si $f$ y $g$ son funciones entonces:

\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad

siempre que $g\neq 0$ .

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

Regla de la potencia generalizada

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones $f$ y $g$

(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad

como casos especiales se tiene

Si ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ entonces ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ cuando $a\neq 0$ es un número real cualquiera y $x$ es positivo.
La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando ${\textstyle g(x)=-1\!}$ .

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

{\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0

la ecuación de arriba es válida para todo $c$ , pero la derivada para ${\textstyle c<0}$ obtiene un número complejo.

{\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}

{\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1

la ecuación de arriba también es válida para todo $c$ pero se obtiene un número complejo si ${\textstyle c<0\!}$ .

{\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.

{\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.

{\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).

{\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ y si }}{\frac {df}{dx}}{\text{ y }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ existen.}}

{\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ si }}f_{i<n}(x)>0{\text{ y }}

{\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ existe. }}

Derivadas logarítmicas

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad

cuando $f$ es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

Derivadas de funciones trigonométricas

$(\sin x)'=\cos x$	$(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\cos x)'=-\sin x$	$(\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x$	$(\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}$
$(\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)$	$(\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}$
$(\sec x)'=\tan x\sec x$	$(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over \|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(\csc x)'=-\cot x\csc x$	$(\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over \|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Derivadas de funciones hiperbólicas

$(\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$	$(\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$(\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$	$(\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}$	$(\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$
$(\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$	$(\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$
$(\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$	$(\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$	$(\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over \|x\|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Derivadas de funciones especiales

Función gamma $\quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$

\Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt

\,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)

\,=\Gamma (x)\psi (x)

con $\psi (x)$ siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de $\Gamma (x)$ .

Función de Zeta del Riemann $\quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$: $\zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots$

\,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}

Derivadas de integrales

Supone que se requiere derivar con respetar a $x$ la función

F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,

donde las funciones $f(x,t)$ y ${\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)$ son ambas continuas en $t$ y en $x$ en alguna del plano $(t,x)$ , incluyendo $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ y las funciones $a(x)$ y $b(x)$ son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ entonces para: $\,x_{0}\leq x\leq x_{1}$ :

F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

Derivadas de $n$ -ésimo orden

Algunas reglas existen para calcular la $n$ -ésima derivada de una función, donde $n$ es un entero positivo. Estas incluyen:

Fórmula de Faà di Bruno

Si $f$ y $g$ son $n$ veces diferenciables entonces

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}

donde $r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}$ y el conjunto $\{k_{m}\}$ consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine $\sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n$ .

Regla general de Leibniz