Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.
Reglas elementales de diferenciación[editar]
A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales (
) que regresan valores reales, es decir,
.
La diferenciación es lineal[editar]
Para cualesquier funciones
y
y cualesquiera números reales
y
, la derivada de la función
con respetar a
es
![{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1c74fb71369264c9f730b282ef099077cb5105)
en la notación de Leibniz esto se escribe como:
![{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3f255787b72a28436cfc8a3478a88d6d7d5917)
Casos especiales incluyen:
- La regla del producto por una constante
![{\displaystyle (af)'=af'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6291e92052625956c2878f31568286eb49d7f7b9)
![{\displaystyle (f+g)'=f'+g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f270ddd2712ae72925b275fb59dc9acc980100e)
![{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06f579d309ffef1a25a87592e47f5ed3c950372)
La regla de producto[editar]
Para las funciones
y
, la derivada de la función
con respecto a
es
![{\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0950ff11b9e3fa3960c91f5c0f9a2dfd96295aff)
En la notación de Leibniz esto se escribe como
![{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284a4f957b824cc30ee7d8722af4f6a0462f230b)
La regla de cadena[editar]
La derivada de la función
es
![{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a7b8ad79c9788b350681320e3826e3317101b1)
En la notación de Leibniz esto se escribe como:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea61e59eb283999d073c1d9ce37b9f4b06510c1)
a menudo abreviado a
![{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f844cdb7a45ac0c994297b2179ef6243491e8701)
La regla de la función inversa[editar]
Si la función
tiene como función inversa
, esto es,
y
entonces
![{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f688dc25b86dbc450cec0d10aedad583f60e77)
En Leibniz notación esto se escribe como
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb6049855886efa05d1bed89ba404dbeaab0abe)
Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciproco[editar]
La regla de la potencia[editar]
Si
, para cualquier número real
entonces
![{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bfebebcfc6c88e203accf2ec6f01c90582b698)
cuando
esto se convierte en el caso especial que si
entonces
Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.
La regla recíproca[editar]
La derivada de
para cualquier función
es:
![{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc500e8a3a4b0e329941e0ae3b900b9d0133562b)
siempre que
para toda
.
En la notación de Leibniz esto se escribe como
![{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6209ff6d72121457b966cd6fcdbaa8c164e5a1)
La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.
La regla de cociente[editar]
Si
y
son funciones entonces:
![{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3464be6afbe1b44abf2484b0ffd5af3a7b7bc3af)
siempre que
.
Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.
Regla de la potencia generalizada[editar]
La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones
y
![{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f1011d5a13b122f7968669a7178e201d1a27a1)
como casos especiales se tiene
- Si
entonces
cuando
es un número real cualquiera y
es positivo.
- La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando
.
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas[editar]
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eb5316862c6dfff1b4d22412fc37d067eb78af)
la ecuación de arriba es válida para todo
, pero la derivada para
obtiene un número complejo.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4776a5cb8042caaab597c3fed9f9b6512da714e)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7d8d5be70b8858e655f1f25ca058f135ea417a)
la ecuación de arriba también es válida para todo
pero se obtiene un número complejo si
.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15310a5517899d0508a71fb509871eb7950fa717)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910044409655a4ad1515c87d85ee1436cf9d29aa)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1895546a3efac9f88d2743606898b1820c57f3c6)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ y si }}{\frac {df}{dx}}{\text{ y }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ existen.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb588c1f0e41a4a8be90bc413718db9fb20a7da)
![{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ existe. }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def183d6ff18fd94a275b9fb665e1562dc58152e)
Derivadas logarítmicas[editar]
La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):
![{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a7eae77ce245ec2592d52485f6a3abced5ec0c)
cuando
es positiva.
La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.
Derivadas de funciones trigonométricas[editar]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivadas de funciones hiperbólicas[editar]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivadas de funciones especiales[editar]
- Función de Zeta del Riemann
![{\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4ac800cedd3a1c16350c75b4d85f1a867879b8)
![{\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff65e9b3479ffae82995f2093252816409434733)
![{\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8890e6441b50bf27d156924e8798900c978c5c71)
|
Derivadas de integrales[editar]
Supone que se requiere derivar con respetar a
la función
![{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405156f2059687b8afdfdc90403ba4b8711f784a)
donde las funciones
y
son ambas continuas en
y en
en alguna del plano
, incluyendo
y las funciones
y
son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para
entonces para:
:
![{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bde7b7a93124df4bd85f35585179cdf3647b66)
esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.
Derivadas de
-ésimo orden[editar]
Algunas reglas existen para calcular la
-ésima derivada de una función, donde
es un entero positivo. Estas incluyen:
Fórmula de Faà di Bruno[editar]
Si
y
son
veces diferenciables entonces
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db9fc6a48b3658dc330625f3c027300228b82b0)
donde
y el conjunto
consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine
.
Regla general de Leibniz[editar]
Si
y
son
veces diferenciables entonces
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63405be1615e41e5620d8b0c45f48b7dd7e6f2ef)
Véase también[editar]