Diferencial de una función

En cálculo, la diferencial representa la parte principal del cambio en una función $y=f(x)$ con respecto a los cambios en la variable independiente. La diferencial $dy$ se define como $$dy=f'(x),dx,$$ donde $f'(x)$ es la derivada de f con respecto a $x$, y $dx$ es una variable real adicional (de modo que $dy$ es una función de $x$ y $dx$). La notación es tal que la ecuación $$dy={\frac {dy}{dx}},dx$$ se cumple, donde la derivada se representa en la notación de Leibniz $dy/dx$, lo cual es consistente con considerar la derivada como el cociente de las diferenciales. También se escribe $$df(x)=f'(x),dx.$$ El significado preciso de las variables $dy$ y $dx$ depende del contexto de la aplicación y del nivel requerido de rigor matemático. El dominio de estas variables puede adquirir un significado geométrico particular si la diferencial se considera como una forma diferencial específica, o un significado analítico si la diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. Tradicionalmente, las variables $dx$ y $dy$ se consideran muy pequeñas (infinitesimales), y esta interpretación se hace rigurosa en el análisis no estándar.

Historia y uso

La diferencial fue introducida por primera vez a través de una definición intuitiva o heurística por Isaac Newton y desarrollada por Gottfried Leibniz, quien pensaba en la diferencial dy como un cambio infinitamente pequeño (o infinitesimal) en el valor y de la función, correspondiente a un cambio infinitamente pequeño dx en el argumento x de la función. Por esa razón, la tasa de cambio instantánea de y con respecto a x, que es el valor de la derivada de la función, se denota mediante la fracción $${\frac {dy}{dx}}$$ en lo que se llama la notación de Leibniz para derivadas. El cociente $dy/dx$ no es infinitamente pequeño; más bien es un número real. El uso de infinitesimales en esta forma fue ampliamente criticado, por ejemplo, en el famoso panfleto El analista del obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) definió la diferencial sin recurrir al atomismo de los infinitesimales de Leibniz. En su lugar, Cauchy, siguiendo a d'Alembert, invirtió el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: la derivada misma se convirtió en el objeto fundamental, definido como un límite de cocientes de diferencias, y las diferenciales se definieron luego en términos de ella. Es decir, uno era libre de definir la diferencial $dy$ mediante una expresión $$dy=f'(x),dx$$ en la que $dy$ y $dx$ son simplemente variables nuevas que toman valores reales finitos, no infinitesimales fijos como lo habían sido para Leibniz. Según Boyer (1959, p. 12), el enfoque de Cauchy fue una mejora lógica significativa sobre el enfoque infinitesimal de Leibniz porque, en lugar de invocar la noción metafísica de los infinitesimales, las cantidades $dy$ y $dx$ ahora podían manipularse exactamente de la misma manera que cualquier otra cantidad real de forma significativa. El enfoque conceptual general de Cauchy hacia las diferenciales sigue siendo el estándar en los tratamientos analíticos modernos, aunque la última palabra sobre el rigor, una noción plenamente moderna de límite, se debió en última instancia a Karl Weierstrass. En los tratamientos físicos, como los aplicados a la teoría de la termodinámica, la visión infinitesimal todavía prevalece. Courant y John (1999, p. 184) concilian el uso físico de las diferenciales infinitesimales con la imposibilidad matemática de las mismas de la siguiente manera: las diferenciales representan valores finitos no nulos que son menores que el grado de precisión requerido para el propósito particular al que están destinados. Por lo tanto, los "infinitesimales físicos" no necesitan recurrir a un infinitesimal matemático correspondiente para tener un sentido preciso. Tras los desarrollos del siglo XX en análisis matemático y geometría diferencial, quedó claro que la noción de la diferencial de una función podía extenderse de diversas maneras. En análisis real, es más deseable tratar directamente con la diferencial como la parte principal del incremento de una función. Esto conduce directamente a la noción de que la diferencial de una función en un punto es un funcional lineal de un incremento $\Delta x$. Este enfoque permite desarrollar la diferencial (como una aplicación lineal) para una variedad de espacios más sofisticados, dando lugar en última instancia a nociones como la Fréchet o la derivada de Gateaux. Asimismo, en geometría diferencial, la diferencial de una función en un punto es una función lineal de un vector tangente (un "desplazamiento infinitamente pequeño"), lo que la presenta como una especie de forma uno: la derivada exterior de la función. En el cálculo no estándar, las diferenciales se consideran infinitesimales, los cuales pueden asentarse sobre una base rigurosa (véase diferencial (infinitesimal)).

Definición

La diferencial de una función $f(x)$ en un punto $x_{0}$.

La diferencial se define en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. La diferencial de una función $f(x)$ de una sola variable real $x$ es la función $df$ de dos variables reales independientes $x$ y $\Delta x$ dada por $$df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x),\Delta x.$$ Uno o ambos argumentos pueden omitirse, es decir, se puede ver $df(x)$ o simplemente $df$. Si $y=f(x)$, la diferencial también se puede escribir como $dy$. Como $dx(x,\Delta x)=\Delta x$, es convencional escribir $dx=\Delta x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $$df(x)=f'(x),dx$$ Esta noción de diferencial es ampliamente aplicable cuando se busca una aproximación lineal a una función, en la que el valor del incremento $\Delta x$ es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, si $f$ es una función diferenciable en $x$, then la diferencia en los valores de $y$ $$\Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)$$ satisface $$\Delta y=f'(x),\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon ,$$ donde el error $\varepsilon$ en la aproximación satisface $\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0$ cuando $\Delta x\rightarrow 0$. En otras palabras, se tiene la identidad aproximada $$\Delta y\approx dy$$ en la cual el error puede hacerse tan pequeño como se desee en relación con $\Delta x$ restringiendo $\Delta x$ para que sea lo suficientemente pequeño; es decir, $${\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0$$ cuando $\Delta x\rightarrow 0$. Por esta razón, la diferencial de una función se conoce como la parte (lineal) principal del incremento de una función: la diferencial es una función lineal del incremento $\Delta x$, y aunque el error $\varepsilon$ puede ser no lineal, tiende a cero rápidamente a medida que $\Delta x$ tiende a cero.

Diferenciales en varias variables

Operador / Función	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferencial	1: $df,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}},f'_{x},dx$	2: $d_{x}f,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}},f'_{x},dx$ 3: $df,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}},f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv$
Derivada parcial	$f'_{x},{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}},{\frac {df}{dx}}$	$f'_{x},{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}},{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}$
Derivada total	${\frac {df}{dx}},{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}},f'_{x}$	${\frac {df}{dx}},{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}},f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)$

Siguiendo a Goursat (1904, I, §15), para funciones de más de una variable independiente, $$y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),$$ la diferencial parcial de y con respecto a cualquiera de las variables x_i es la parte principal del cambio en y resultante de un cambio dx_i en esa única variable. La diferencial parcial es, por lo tanto, $${\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}$$ e involucra la derivada parcial de y con respecto a x_i. El suma de las diferenciales parciales con respecto a todas las variables independientes es la diferencial total $$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},$$ la cual es la parte principal del cambio en y resultante de los cambios en las variables independientes x_i. Más precisamente, en el contexto del cálculo multivariable, siguiendo a Courant (1937b), si f es una función diferenciable, entonces, por la definición de diferenciabilidad, el incremento $${\begin{array}{lcl}\Delta y&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}&f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&=&{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{array}}$$ donde los términos de error ε _i tienden a cero a medida que los incrementos Δx_i tienden conjuntamente a cero. La diferencial total se define entonces rigurosamente como $$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.$$ Dado que, con esta definición, $$dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},$$ se tiene $$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}},dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}},dx_{n}.$$ Al igual que en el caso de una variable, se cumple la identidad aproximada $$dy\approx \Delta y$$ en la cual el error total puede hacerse tan pequeño como se desee en relación con ${\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}$ limitando la atención a incrementos suficientemente pequeños.

Aplicación de la diferencial total a la estimación de errores

En las mediciones, la diferencial total se utiliza en la estimación del error $\Delta f$ de una función $f$ a partir de los errores $\Delta x,\Delta y,\ldots$ de los parámetros $x,y,\ldots$. Suponiendo que el intervalo es lo suficientemente corto como para que el cambio sea aproximadamente lineal: $$\Delta f(x)=f'(x)\Delta x$$ y que los parámetros $x,y,\ldots$ son funcionalmente independientes, de modo que se aplica la diferencial total, el cambio en $f$ inducido por cambios simultáneos en todos los parámetros es $$\Delta f\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots .$$ La derivada $f_{x}$ con respecto al parámetro $x$ da la sensibilidad de la función $f$ a un cambio en $x$, en particular al error $\Delta x$. La forma en que los errores individuales $\Delta x,\Delta y,\ldots$ se combinan en un límite para $\Delta f$ depende de lo que se sepa sobre ellos. Si los errores se conocen únicamente como límites de magnitud (es decir, $|\Delta x|\leq \delta x$, etc.) y pueden tener signos arbitrarios, el límite correspondiente al peor caso para $\Delta f$ se obtiene tomando valores absolutos, ya que de lo contrario las contribuciones con signo podrían cancelarse: $$|\Delta f|\leq |f_{x}|,\delta x+|f_{y}|,\delta y+\cdots .$$ Si, en cambio, los errores se modelan como variables aleatorias estadísticamente independientes con desviaciones estándar $\sigma _{x},\sigma _{y},\ldots$, entonces, por propagación de la varianza, la desviación estándar de $\Delta f$ se suma en cuadratura: $$\sigma _{f}^{2}=f_{x}^{2},\sigma _{x}^{2}+f_{y}^{2},\sigma _{y}^{2}+\cdots .$$ La primera fórmula es un límite superior determinista, la segunda es una estimación típica (de una desviación estándar); ambas coinciden únicamente en el caso trivial de una sola variable. A partir del principio del peor caso, se derivan las reglas de error habituales para la suma, la multiplicación, etc., por ejemplo:

Sea $f(a,b)=ab$. Entonces el error finito se puede aproximar como $$\Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.$$ Evaluando las derivadas: $$\Delta f=b\Delta a+a\Delta b.$$ Dividiendo por $f$, que es $a\times b$: $${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}.$$

Es decir, en la multiplicación, el error relativo total es la suma de los errores relativos de los parámetros. Para ilustrar cómo depende esto de la función considerada, considérese en su lugar el caso en que la función es $f(a,b)=a\ln b$. Entonces, se puede calcular que la estimación del error es $${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}$$ con un factor extra ln b que no se encuentra en el caso de un producto simple. Este factor adicional tiende a hacer que el error sea menor, ya que el denominador b ln b es mayor que un simple b.

Diferenciales de orden superior

Las diferenciales de orden superior de una función y = f(x) de una sola variable x se pueden definir mediante: $$d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x),(dx)^{2},$$ y, en general, $$d^{n}y=f^{(n)}(x),(dx)^{n}.$$ Informalmente, esto motiva la notación de Leibniz para las derivadas de orden superior $$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.$$ Cuando se permite que la propia variable independiente x dependa de otras variables, la expresión se vuelve más complicada, ya que debe incluir también diferenciales de orden superior de la propia x. Así, por ejemplo, $${\begin{array}{lcl}d^{2}y&=&f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=&f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{array}}$$ y así sucesivamente. Consideraciones similares se aplican a la definición de diferenciales de orden superior de funciones de varias variables. Por ejemplo, si f es una función de dos variables x e y, entonces $$d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},$$ donde ${\binom {n}{k}}$ es un coeficiente binomial. En más variables, se cumple una expresión análoga, pero con un desarrollo multinomial adecuado en lugar del desarrollo binomial. Las diferenciales de orden superior en varias variables también se vuelven más complicadas cuando se permite que las propias variables independientes dependan de otras variables. Por ejemplo, para una función f de x e y a las que se les permite depender de variables auxiliares, se tiene $$d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.$$ Debido a esta incomodidad notacional, el uso de diferenciales de orden superior fue duramente criticado por Hadamard (1935), quien concluyó:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

$$d^{2}z=r,dx^{2}+2s,dx,dy+t,dy^{2},?$$

A mon avis, rien du tout.

Es decir: Finalmente, ¿qué significa, o qué representa, la igualdad [...]? En mi opinión, absolutamente nada. A pesar de este escepticismo, las diferenciales de orden superior surgieron como una herramienta importante en el análisis. En estos contextos, la diferencial de orden n-ésimo de la función f aplicada a un incremento Δx se define mediante $$d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|*{t=0}$$ o una expresión equivalente, como $$\lim *{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}$$ donde $\Delta _{t\Delta x}^{n}f$ es una n-ésima diferencia hacia adelante con un incremento de tΔx. Esta definición también tiene sentido si f es una función de varias variables (por simplicidad, tomada aquí como un argumento vectorial). Entonces, la diferencial n-ésima definida de esta manera es una función homogénea de grado n en el incremento vectorial Δx. Además, la serie de Taylor de f en el punto x viene dada por $$f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots$$ La derivada de Gateaux de orden superior generaliza estas consideraciones a espacios de dimensión infinita.

Propiedades

Varias propiedades de la diferencial se deducen de manera directa

Referencias

• Datos: Q750432