Reglas de derivación

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

Reglas elementales de diferenciación[editar]

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales () que regresan valores reales, es decir, .

La diferenciación es lineal[editar]

Para cualesquier funciones y y cualesquiera números reales y , la derivada de la función con respetar a es

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

Casos especiales incluyen:

  • La regla del producto por una constante
  • La regla de suma
  • La regla de la resta

La regla de producto[editar]

Para las funciones y , la derivada de la función con respecto a es

En la notación de Leibniz esto se escribe como

La regla de cadena[editar]

La derivada de la función es

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

a menudo abreviado a

La regla de la función inversa[editar]

Si la función tiene como función inversa , esto es, y entonces

En Leibniz notación esto se escribe como

Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciproco[editar]

La regla de la potencia[editar]

Si , para cualquier número real entonces

cuando esto se convierte en el caso especial que si entonces

Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíproca[editar]

La derivada de para cualquier función es:

siempre que para toda .

En la notación de Leibniz esto se escribe como

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

La regla de cociente[editar]

Si y son funciones entonces:

siempre que .

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

Regla de la potencia generalizada[editar]

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones y

como casos especiales se tiene

  • Si entonces cuando es un número real cualquiera y es positivo.
  • La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando .

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas[editar]

la ecuación de arriba es válida para todo , pero la derivada para obtiene un número complejo.

la ecuación de arriba también es válida para todo pero se obtiene un número complejo si .

Derivadas logarítmicas[editar]

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

cuando es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

Derivadas de funciones trigonométricas[editar]

Derivadas de funciones hiperbólicas[editar]

Derivadas de funciones especiales[editar]

Función gamma

con siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de .

Función de Zeta del Riemann

Derivadas de integrales[editar]

Supone que se requiere derivar con respetar a la función

donde las funciones y son ambas continuas en y en en alguna del plano , incluyendo y las funciones y son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para entonces para::

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

Derivadas de -ésimo orden[editar]

Algunas reglas existen para calcular la -ésima derivada de una función, donde es un entero positivo. Estas incluyen:

Fórmula de Faà di Bruno[editar]

Si y son veces diferenciables entonces

donde y el conjunto consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine .

Regla general de Leibniz[editar]

Si y son veces diferenciables entonces

Véase también[editar]