Notación de Leibniz

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Existen varias formas distintas de representar la operación matemática derivada de una función en un punto o función derivada. Una de las formas más cómodas de representar esta operación es haciendo uso de la notación de Leibniz.

Definición de la notación[editar]

La notación de Leibniz tradicional y = f(x) \; es utilizada para indicar que la variable independiente es x \; y la variable dependiente es y \; , por lo tanto existen otras notaciones comunes para la derivada [1] :


   f'(x) = y' = \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{df}{dx}  = \cfrac{d}{dx} \; f(x) = Df(x) = D_xf(x) \;
  • Donde las notaciones \scriptstyle D \; y \scriptstyle \cfrac{dy}{dx} \; son operadores de derivación porque indican la operación de derivación.
  • La notación \scriptstyle \cfrac{dy}{dx} \; introducida por Leibniz es solo un sinónimo de \scriptstyle y = f'(x) \; . Sin embargo, es una notación útil cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación razón (instantánea) de cambio de y \; con respecto a x \; dónde \scriptstyle x = x_1 \; , \scriptstyle \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta y \over \Delta x} = \lim_{x_2 \to x_1} {f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} , al escribir de nuevo la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma:

   \cfrac{dy}{dx}  = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} \;

Por lo tanto, en esta notación se representa la operación de diferenciar. Dada una función f de x:


   y =
   y(x) \;

mediante el operador derivada de la función:


   y' =
   \cfrac{d}{dx} \; y(x)

se representaría de este modo


   y' =
   \frac {dy} {dx}

como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena. Dadas las funciones:


   y = y(x) \;

   x = x(t) \;

que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto[cita requerida])


   \frac {dy} {dx} \frac {dx}{dt} =
   \frac {dy}{dt}

o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales:


   \frac {dN} {dt} = kN
   \longrightarrow \quad
   \frac {dN}{N} = k dt

Aparición en Principia[editar]

En la primera edición americana del libro se hace una introducción a la vida de Newton. En esta introducción, redactada por N. W. Chittenden, se comenta en una de las páginas que

el método diferencial es único y el mismo que el método de las fluxiones, excepto en el nombre y en la notación; el señor Leibniz llama a estas cantidades diferencias, a las cuales el señor Newton llama momentos, o fluxiones; y [Leibniz] las nota con una letra d, una notación no usada por el señor Newton.[2]

Aplicaciones[editar]

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Stewart, James (2008). Calculo: Trascendentes tempranas. (Sexta edición). Thomson Learning. p. 157. ISBN 978-970-686-654-7. 
  2. Sir Isaac Newton; N. W. Chittenden (1848). Newton's Principia: The mathematical principles of natural philosophy. D. Adee. Consultado el 14 de marzo de 2015. 

Enlaces externos[editar]