Producto de Euler

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En matemática, un producto de Euler es la expansión de un producto infinito, indexado por números primos p de una serie de Dirichlet. El nombre surge del caso especial de la función zeta de Riemann, cuya representación en forma de producto, fue demostrada por Leonhard Euler en 1737.

Definición[editar]

En general, una serie de Dirichlet de la forma:

\sum_{n} a(n)n^{-s}\,

donde a(n) es una función multiplicativa de n, puede ser escrita de la forma:

\prod_{p} P(p,s)\,

donde P(p,s) es la suma:

1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .

En efecto, si se consideran éstas como funciones generadoras de manera formal, la condición necesaria y suficiente para la existencia del producto de Euler equivalente a la serie es que a(n) sea multiplicativa, o sea, que a(n) sea igual al producto de a(pk) para los distintos factores primos p que componen n.

Un caso importante es cuando a(n) es una función totalmente multiplicativa, donde se cumple que P(p,s) es una serie geométrica. Entonces

P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}}

como puede ser el caso de la función zeta de Riemann, donde a(n) = 1, y más generalmente, para los caracteres de Dirichlet.

En la práctica, todos los casos importantes a tener en cuenta son las series y productos infinitos que son absolutamente convergentes en cierta región

\operatorname{Re}(s) > C

o sea, en la parte derecha del semiplano formado por números complejos. Esto da también alguna información, dado que el producto infinito, al converger, debe dar una valor distinto de cero, y también que la función dada por la serie infinita no es cero en dicho semiplano.

Ejemplos de productos de Euler[editar]

 \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} = \prod_{p} \Big(\sum_{n=0}^{\infty}p^{-ns}\Big) = \prod_{p} (1-p^{-s})^{-1} .

 \frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1-p^{-s})= \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s} .

  • Productos más específicos derivados de la función zeta son:

 \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1+p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^{\infty}\lambda (n)n^{-s}

donde \lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)} es la función de Liouville, y

 \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) }= \prod_{p} (1+p^{-s}) = \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)|n^{-s} .

  • De manera similar

 \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)} = \prod_{p} \Big(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\Big) = 
\prod_{p} (1+2p^{-s}+2p^{-2s}+\cdots) =
\sum_{n=1}^{\infty}2^{\omega(n)} n^{-s}

donde \omega(n) cuenta el número de divisores primos distintos de n y 2^{\omega(n)} el número de divisores de la forma cuadrado libre.

Si \chi(n) es el carácter de Dirichlet del conductor N, tal que si \chi es totalmente multiplicativa y \chi(n) sólo depende de n modulo N, y \chi(n) = 0 si n no es coprimo con N, entonces:

 \prod_{p} (1- \chi(p) p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)n^{-s} .

Aquí es conveniente omitir los número primos p que dividen al conductor N del producto.

Ramanujan, es sus cuadernos, trató de generalizar el producto de Euler para la función zeta en la forma:

 \prod_{p} (x-p^{-s})\approx \frac{1}{\operatorname{Li}_{s} (x)}    para s > 1

(donde Li_s (x) es la función polilogaritmo)

buscando la forma de obtener potencias primas como raíces de cierta función f(x, s).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244.
  • G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 (1954) Princeton University Press L.C. Card 53-6388
  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
  • G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0

Enlaces externos[editar]

  • http://www.EulerArchive.org (en inglés)
  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [1]
  • Ramanujan lost notebook [2]
  • planetmath.org (2008). «Euler product.». Consultado el 15 de julio de 2008.
  • Wolffram.Mathworld.com (2008). «Euler product.». Consultado el 15 de julio de 2008.