Serie de Dirichlet

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En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo

donde s y an para n = 1, 2, 3, ... son números complejos.

Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet. Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipótesis generalizada de Riemann. La serie ha sido nombrada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definición formal[editar]

Una serie de Dirichlet [1] [2] es toda serie del tipo

donde es una sucesión de números complejos, es un número complejo y es una sucesión real, creciente y divergente. Algunos autores exigen que la sucesión sea además de términos positivos. Dicha exigencia se cumple en nuestra definición excepto para una cantidad finita de términos.

Cuando se obtiene la serie ordinaria de Dirichlet:

Ejemplos[editar]

La serie de Dirichlet más famosa es

que es la función zeta de Riemann. Otra serie de Dirichlet es:

donde μ(n) es la función de Möbius. Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet se tiene que

donde es una función L de Dirichlet.

Otras identidades incluyen

donde φ(n) es la función indicatriz de Euler

donde σa(n) es la función divisor. Otras identidades que involucran a la función divisor d0 son

El logaritmo de la función zeta está dado por

para . Aquí, es la función de von Mangoldt. La derivada logarítmica es por lo tanto

Estos últimos dos son casos especiales de una relación más generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.

Dada la función de Liouville , se tiene que

Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan:

Propiedades analíticas de la serie de Dirichlet: la abscisa de convergencia[editar]

Derivadas[editar]

Dado

para una función completamente multiplicativa , y asumiendo que la serie converge para , entonces se tiene que

converge para . Siendo, la función de von Mangoldt.

Productos[editar]

Sea y

Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:

dado que

para a=b y f(n)=g(n) se obtiene:

as

Transformadas integrales[editar]

La Transformada de Mellin de una Serie de Dirichlet está dada por la fórmula de Perron.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic. Springer Verlag. ISBN 0-387-90040-3. 
  2. «PlanetMath». 

Bibliografía[editar]