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Polinomios ortogonales

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Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert. Los polinomios ortogonales son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.

Espacios de Hilbert

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La mayoría de las familias de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación . Es decir:

Donde:

es el producto escalar del espacio .
es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.
es el delta de Kronecker.

Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:

Polinomios de Legendre

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Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:[1]

Polinomios de Hermite

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Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:[2]

Polinomios de Laguerre

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Polinomios de Chebyshev

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Los polinomios de Chebyshev son soluciones de la ecuación diferencial:[5]

Los se denominan polinomios de Chebyshev de primer tipo, además los polinomios de Chebyshev de segundo tipo que vienen dados por:

Polinomios de Jacobi

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Los polinomios de Jacobi son series de polinomios ortogonales respecto a la función peso en el intervalo [-1,+1] satisfacen la ecuación diferencial:

Muchos polinomios ortogonales son casos particulares de Jacobi:

  • Los polinomios ultraesféricos son aquellos para los cuales entre ellos están:
    • Los polinomios de Chebyshev de primer tipo tienen .
    • Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo tienen .
    • Los polinomios de Legendre tienen .

Mecánica cuántica

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En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales:

Referencias

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  1. Spiegel et al., 1992, pp. 156-57
  2. Spiegel et al., 1992, pp. 158-59
  3. Spiegel et al., 1992, pp. 160-1
  4. Spiegel et al., 1992, pp. 162-3
  5. Spiegel et al., 1992, pp. 164-5

Bibliografía

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  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). pp. p. 158-166. ISBN 84-7615-197-7.