Polinomios de Jacobi

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En matemáticas, los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos) P(α, β)
n
(x)
son una clase de polinomios ortogonales clásicos. Son ortogonales con respecto al peso (1 − x)α(1 + x)β en el intervalo [−1, 1]. Los polinomios de Gegenbauer, y por lo tanto también los de Legendre, de Zernike y de Chebyshov, son casos especiales de los polinomios de Jacobi.[1]

Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por el matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).

Definiciones[editar]

A través de la función hipergeométrica[editar]

Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera:[2]

donde es un símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto, se obtiene la siguiente expresión equivalente:

La fórmula de Rodrigues[editar]

La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente:[1][3]

Si , entonces se reduce a los polinomios de Legendre:

Expresión alternativa para el argumento real[editar]

Para x real, el polinomio de Jacobi puede escribirse alternativamente como

y para un número entero n

donde Γ(z) es la Función gamma.

En el caso especial de que las cuatro cantidades n, n + α, n + β y n + α + β son enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como


 

 

 

 

(1)

La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.

Propiedades básicas[editar]

Ortogonalidad[editar]

Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad

Como se define, no tienen una norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando .

Aunque no proporciona una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:

Relación de simetría[editar]

Los polinomios tienen la relación de simetría

por lo tanto, el otro valor terminal es

Derivadas[editar]

La k-ésima derivada de la expresión explícita conduce a

Ecuación diferencial[editar]

El polinomio de Jacobi P(α, β)
n
es una solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden[1]

Relaciones de recurrencia[editar]

La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α, β fija es:[1]

para n = 2, 3, ....

Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recidivas equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades

Función de generación[editar]

La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por

de donde

y la rama de la raíz cuadrada se elige para que R (z, 0) = 1.[1]

Polinomios de Jacobi asintóticos[editar]

Para x en el interior de [−1, 1], el término asintótico de P(α, β)
n
para n grande viene dado por la fórmula de Darboux[1]

donde

y el término "O" es uniforme en el intervalo [ε, π-ε] para cada ε > 0.

Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine

donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado.

Los polinomios asintóticos fuera de [−1, 1] son menos explícitos.

Aplicaciones[editar]

Matriz D de Wigner[editar]

La expresión (1) permite la expresión de la matriz D de Wigner djm’,m(φ) (para 0 ≤ φ ≤ 4Plantilla:Pi) en términos de polinomios de Jacobi:[4]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b c d e f Szegő, Gábor (1939). «IV. Jacobi polynomials.». Orthogonal Polynomials. Colloquium Publications. XXIII. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1. MR 0372517.  La definición figura en IV.1; la ecuación diferencial en IV.2; la fórmula de Rodrigues formula aparece en IV.3; la función generadora IV.4; y la relación recurrente está en IV.5.
  2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  3. P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi_polynomials", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  4. Biedenharn, L.C.; Louck, J.D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Reading: Addison-Wesley. 

Lecturas relacionadas[editar]

Enlaces externos[editar]