Polinomios de Laguerre

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Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

Desarrollando en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general .

Definición[editar]

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

Que tras desarrollar queda de la forma:

algunos de estos polinomios son:

n
0
1
2
3
4
5
6

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

Función generatriz[editar]

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

Que sabiendo que , y después de reagrupar queda de la forma:

Relaciones de recurrencia[editar]

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

Ortogonalidad[editar]

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

No obstante podemos definir las funciones:

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

Polinomios asociados de Laguerre[editar]

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

Definición[editar]

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:

Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que .

Derivando, según la definición se obtiene:

Función generatriz y relaciones de recurrencia[editar]

La función generatriz viene dada por:

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

Ortogonalidad[editar]

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso . Se cumple que:

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:


Donde es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso (debido a la forma que toma la integral de volúmen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

En general las funciones construidas de la forma:

Son ortogonales respecto de la función peso y son solución de la ecuación:

Relación con los polinomios de Hermite[editar]

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

Véase también[editar]

Referencia[editar]