Notación científica

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La notación científica, y también dominada patrón o notación en forma exponencial, una forma es escribir los números que acomoda valores demasiado grandes (100000000000) o pequeños (0,00000000001)[1] para ser convenientemente por escrito de manera convencional.[2] [3] El uso de esta notación se basa en potencias de 10[4] (los casos ejemplificados anteriormente en notación científica, quedarían 1 × 1011 y 1 × 10−11, respectivamente). Como ejemplo, en la Química, al referirse a la cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, iones, etc.), hay una cantidad llamada cantidad de materia (mol).[5]

Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón:

\mathbf{m}\ \times\ 10^{\mathbf{e}}

El número m se denomina mantisa y e el orden de magnitud.[6] La mantisa, en el módulo, debe ser mayor que o igual a 1 y menor que 10, y la orden de magnitud, dada como exponente, es el número que más varía conforme al valor absoluto.[7]

Observar los ejemplos de números grandes y pequeños:

  • 600 000
  • 30 000 000
  • 500 000 000 000 000
  • 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
  • 0,0004
  • 0,00000001
  • 0,0000000000000006
  • 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significado práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la Física y la Química, estos valores son comunes.[5] Por ejemplo, la mayor distancia observable del universo mide cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m,[8] y la masa de un protón es de unos 0,00000000000000000000000000167 kg.[9]

Para valores como estos, la notación científica es más adecuada porque presenta la ventaja de ser capaz de representar correctamente el número de dígitos significativos.[7] [10] Por ejemplo, la distancia observable del universo, de modo que está escrito, sugiere una precisión de 27 dígitos significativos. Pero esto no puede ser verdad (es poco probable 25 ceros seguidos en una medición).[5]

Historia[editar]

Arquímedes, el padre de la notación científica.[11]

El primer intento de representar números demasiado grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes,[11] y descrita en su obra El contador de arena,[12] en el siglo III a. C. Él desarrolló un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos.[13] [14]

Hay quien piensa, Rey Gelón, que el número de granos de arena es infinito. Y cuando menciono arena no me refiero solo a aquella que existe en Siracusa y en el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en otras áreas, sean ellas habitadas o deshabitadas. Una vez más, hay quienes, sin considerarlo infinito, piensan que ningún número fue nombrado todavía que sea suficientemente grande para exceder su multiplicidad. Y es claro que aquellos que tienen esta opinión, si imaginasen una masa arena del tamaño de la masa de la Tierra, incluyendo en esta todos mares y depresiones de la Tierra llenas hasta una altura igual a la más alta de las montañas, sería mucho aún para reconocer que cualquier número puede expresarse de tal manera que superar la multiplicidad de arena allí existente. Pero voy a tratar de mostrar por medio de demostraciones geométricas que conseguiréis acompañar que, dos números nombrados por mí y que constan en el trabajo que envié a Zeuxipo, algunos exceden, no solo el número de masa de arena igual en magnitud a la de la Tierra rellena de manera que se describe arriba, sino también la masa igual en magnitud a la del universo.

El contador de Arena (Arquímedes), pg. 1[12]

Fue a través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante.[15] Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).[11] La codificación en punto flotante de los ordenadores actuales es básicamente una notación científica de base 2.[16]

La programación con el uso de números en notación científica consagró una representación sin superíndices, en el cual la letra e (o E) a mantisa del exponente mantisa. Por lo tanto, 1,785 × 105 e 2,36 × 10−14 se representan, respectivamente, con 1.785E5 y 2.36E-14 (como la mayoría de los lenguajes de programación están basadas en inglés, las comas son sustituidas por puntos).[11]

Tipos de notación científica[editar]

En la notación científica estándar, el exponente e es elegido de manera que el valor absoluto de m permanezca al menos uno pero menos de diez (1 ≤ | m | <10). Por ejemplo, 350 se escribe como 3,5 ⋅ 10². Esta forma permite una comparación simple de dos números del mismo signo en m, como el exponente e indica el número de la orden de grandeza. En notación estándar el exponente e es negativo para un número absoluto con valor entre 0 y 1 (por ejemplo, menos de la mitad es -5 ⋅ 10−1). El 10 y el exponente son generalmente omitidos cuando el exponente es 0.[17]

En muchas áreas, la notación científica se normaliza de esta manera, a excepción de los cálculos intermedios, o cuando una forma no estándar, tales como la notación de ingeniería, se desea. La notación científica (normalizada) suele llamarse notación exponencial - aunque este último término es más general y también se aplica cuando m no está restringido al intervalo de 1 a 10 (como en la notación de ingeniería, por ejemplo) y para otras bases distintas de 10 (como en 315 ⋅ 220).[18]

Notación E[editar]

Muchas calculadoras y programas informáticos presentan en notación científica los resultados muy grandes o muy pequeños Como los exponentes sobrescritos como 107 no pueden ser convenientemente representados en las y por las computadoras, máquinas de escribir y en calculadoras, suele utilizarse un formato alternativo: la letra "E" o "e" representa "por diez elevado a la potencia", sustituyendo entonces el " × 10n".[19] El carácter "e" no tiene nada que ver con la constante matemática e (una confusión no posible cuando se utiliza la letra mayúscula "E"); y aunque represente un exponente, la notación se refiere generalmente como (científica) notación E o (científica) notación E, en vez de (científica) notación exponencial (aunque este última también puede ocurrir).[20]

Ejemplos[editar]

  • En el lenguaje de programación FORTRAN 6.0221415E23 es equivalente a 6.022 141 5×1023.
  • El lenguaje de programación ALGOL 60 usa un subíndice diez en lugar de la letra E, por ejemplo 6.02214151023.[21] ALGOL 68 también permite E minúsculas, por ejemplo 6.0221415e23.
  • El lenguaje de programación ALGOL 68 tiene la opción de 4 caracteres en (eE\⏨). Ejemplos: 6.0221415e23, 6.0221415E23, 6.0221415\23 ou 6.0221415⏨23.[22]
  • En el lenguaje de programación Simula se requiere el uso de & (o && para largos), por ejemplo: 6.0221415&23 (o 6.0221415&&23).[23]

Escritura[editar]

  • 100 = 1
  • 101 = 10
  • 102 = 100
  • 103 = 1 000
  • 104 = 10 000
  • 105 = 100 000
  • 106 = 1 000 000
  • 107 = 10 000 000
  • 108 = 100 000 000
  • 109 = 1 000 000 000
  • 1010 = 10 000 000 000
  • 1020 = 100 000 000 000 000 000 000
  • 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n:

  • 10–1 = 1/10 = 0,1
  • 10–2 = 1/100 = 0,01
  • 10–3 = 1/1 000 = 0,001
  • 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
  • 10-12 = 1/1 000 000 000 000 = 0,000 000 000 001
  • 10-15 = 1/1 000 000 000 000 000 = 0,000 000 000 000 001
  • 10-17 = 1/ 1 000 000 000 000 000 00 = 0,000 000 000 000 000 01

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 debe ser escrito como 1,56234×1029,

y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) debe ser escrito como 9,10939×10–31kg.

Operaciones matemáticas con notación científica[editar]

Suma y resta[editar]

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes, dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105
3×105 - 0.2×105 = 2.8×105
2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)
= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación[editar]

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012)×(2×105) =8×1017

División[editar]

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo: \frac{48 \cdot 10^{-10}}{12 \cdot 10^{-1} }= \frac{48}{12}\cdot 10^{-10-(-1)}= 4\cdot 10^{-9}.

Potenciación[editar]

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9 ×1012.

Radicación[editar]

Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente entre el índice de la raíz.

Ejemplos:

\sqrt{9\cdot 10^{26}} = 3\cdot 10^{13}
\sqrt[3]{27\cdot 10^{12}} = 3\cdot 10^{4}
\sqrt[4]{256\cdot 10^{64}} = 4\cdot 10^{16}

Discrepancia de nomenclatura[editar]

A pesar que la notación científica pretende establecer pautas firmes sobre la referencia numérica en materia científica, se presentan discrepancias de lenguaje.

Por ejemplo en Estados Unidos 109 se denomina «billion» (billón, en español). Para los países de habla hispana y en la mayor parte de los países de Europa, 109 es mil millones o millardo (del francés millard), en tanto que el billón es 1012. Llegamos a un caso práctico donde para los estadounidenses one billion dollars, para la casi totalidad del resto del mundo será un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que, aunque el prefijo miria significa 'diez mil' en el Sistema Métrico Decimal (ejemplo, miriámetro), esto es, 104 (10 000 unidades), se prefiere el uso de diez mil, reservándose el término miríada en el sentido de 'innumerables' o 'muy numerosos' (ejemplo, miriápodo).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Chem. «Notación científica». Math Skills review (en inglés). Consultado el 31 de mayo de 2009. 
  2. qfojo.net. «¿Cuál es la notación científica y cómo se puede usar?». Potencias (en portugués). Consultado el 7 de noviembre de 2009. 
  3. Só matemática. «Letra "N"». Dicionário de matemática (en portugués). Consultado el 29 de mayo de 2009. 
  4. Efeito Joule. «Potência de dez e Notação científica» (en portugués). Consultado el 7 de noviembre de 2009. 
  5. a b c UOL Educação. «Notação científica - Potência de 10 simplifica cálculos» (en portugués). Consultado el 24 de febrero de 2009. 
  6. Spiegel, Murray R. «Teoría y problemas de álgebra». En Bookman. 2004 (en portugués) (2 edición). p. 62. ISBN 85-363-0340-9. Consultado el 17 de noviembre de 2009. 
  7. a b Infoescola. «Notação científica» (en portugués). 
  8. ScienceBlogs - 100nexos. «Bicicletas e universo observável» (en portugués). Consultado el 21 de abril de 2009. 
  9. Irineu Gomes Varella (2004). «Constantes físicas». Tabelas e dados astronômicos (en portugués). Uranometria Nova. Consultado el 21 de abril de 2009. 
  10. Delta teta - física explícita. «Notação científica e algarismos significativos» (en portugués). Consultado el 22 de abril de 2009. 
  11. a b c d Ebah. «Notação científica ? Exponenciação - Radiciação» (en portugués). Consultado el 20 de abril de 2009. 
  12. a b Departamento de educação da Universidade de Lisboa. «O Contador de Areia». Tradução feita pela Universidade de Lisboa (en portugués). Consultado el 22 de abril de 2009. 
  13. Departamento de educação da Universidade de Lisboa. «Arquimedes» (en portugués). Consultado el 21 de abril de 2009. 
  14. BARCO, Luiz. «Você sabe escrever um bilhão?» (en portugués). Super Interessante. Consultado el 7 de enero de 2011. 
  15. UFPR - Universidade Federal do Paraná (20 de abril de 2009). «Representação de números reais (ponto flutuante)». Departamento de informática (en portugués). Consultado el 22 de abril de 2009. 
  16. Marcos Paz. «Codificação» (pdf). Utilização de códigos em sistemas de comunicação (en portugués). Consultado el 22 de abril de 2009. 
  17. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. «Operações com Ponto Flutuante» (en portugués). Consultado el 29 de mayo de 2009. 
  18. Unesp. «Notação científica» (ppt) (en portugués). Consultado el 29 de mayo de 2009. 
  19. Professor Adriano da Silva (14 de julio de 2009). «Notação científica:Potências de base 10» (html) (en portugués). Consultado el 20 de setiembre de 2009. 
  20. childrens-mercy. «E notation» (asp) (en inglés). Consultado el 20 de setiembre de 2009. 
  21. Informe sobre la Algorithmic Language ALGOL 60, Ed. P. Naur, Copenhage 1960
  22. «Revised Report on the Algorithmic Language Algol 68» (en inglés). Setiembre de 1973. Consultado el 30 de abril de 2007. 
  23. «SIMULA Standard As defined by the SIMULA Standards Group - 3.1 Numbers» (en inglés). Agosto de 1986. Consultado el 6 de octubre de 2009. 

Enlaces externos[editar]