Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

${\begin{array}{ll}\mathbb {C} &{\mbox{Complejos}}{\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{Reales}}{\begin{cases}\mathbb {Q} &{\mbox{Racionales}}{\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{Enteros}}{\begin{cases}\mathbb {N} &{\mbox{Naturales}}\\&{\mbox{Cero}}\\&{\mbox{Enteros negativos}}\end{cases}}\\&{\mbox{Fraccionarios}}\end{cases}}\\&{\mbox{Irracionales}}\end{cases}}\\&{\mbox{Imaginarios}}\end{cases}}\end{array}}$

== Definición ==(SON RE SOMPLICADOS) Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

$(a,b)+(c,d)=(a+c)+\;(b+d)i$

• Multiplicación

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd)+\;(ad+cb)i$

• Igualdad

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que $a=0$ .

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:

Sean $z,w,s\in {\mbox{C}}$

I) $(zw)s=z(ws)\,$

II) $zw=wz\,$

III) $z(w+s)=zw+zs\,$

Sean $z=a+ib,w=c+id,s=e+if\,$ con $a,b,c,d,e,f\in {\mbox{R}}$

Por demostrar la propiedad asociativa (I)

$(zw)s=[(a+ib)(c+id)](e+if)=[(ac-bd)+i(bc+ad)](e+if)\,$

$[e(ac-bd)-f(bc+ad)]+i[e(bc+ad)+f(ac-bd)=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,$

Por otra parte

$z(ws)=(a+ib)[(c+id)(e+if)]=(a+ib)[(ce-df)+i(de+cf)]\,$

$[a(ce-df)-b(de+cf)]+i[b(ce-df)+a(de+cf)]=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,$

Entonces se cumple $(zw)s=z(ws)\,$.

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que $(a,0)\cdot (0,1)=(0,a)$, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

$\mathrm {i} =(0,1)\,\!$

De donde se deduce inmediatamente que,

$\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

Representación binomial

Un número complejo se representa en forma binomial como:

$z=a+bi\,$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

$a={\hbox{Re}}(z)=\Re (z)$

$b={\hbox{Im}}(z)=\Im (z)$

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

$|z|={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)}}$

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

$\left|z\right|=0\Longleftrightarrow z=0$

$\left|z+w\right|\leq |z|+|w|$

$\left|zw\right|=|z||w|$

$\left|z-w\right|\geq |z|-|w|$

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ${\bar {z}}$ ó $z^{*}\,\!$) es un nuevo número complejo, definido así:

${\bar {z}}=a-\mathrm {i} b\Longleftrightarrow z=a+\mathrm {i} b$

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

$z+{\overline {z}}=2\cdot {\hbox{Re}}(z)$

$z-{\overline {z}}=2i\cdot {\hbox{Im}}(z)$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

$z\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow {\bar {z}}=z$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}$

$z\neq 0\Longrightarrow {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado $|z|$.

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado $\phi \,$.

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo $\phi \,$:

$z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)\,}$

Módulo y argumento

En esta representación, $\textstyle {r}$ es el módulo del número complejo y el ángulo $\textstyle {\phi }$ es el argumento del número complejo.

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

$\sin \phi ={\frac {b}{r}}$

$\cos \phi ={\frac {a}{r}}$

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

$z=a+\mathrm {i} b;\;z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\sin {\phi }$

Sacamos factor común r:

$z=r\left(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }\right)$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

$\ z=r\;\operatorname {cis} \;{\phi }$

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi };\;z=re^{i\phi }$

No obstante, el ángulo $\phi$ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

$\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \;z=e^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $\phi$ al intervalo [-π, π) y a éste $\phi$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

$z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{\mathrm {i} \phi }se^{\mathrm {i} \psi }$

División:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}$

Potenciación:

$z^{n}=r^{n}e^{\mathrm {i} \phi n}\Leftrightarrow z^{n}=\left(re^{i\phi }\right)^{n}$

$z^{n}=(a+b\mathrm {i} )^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b\mathrm {i} +{n \choose 2}a^{n-2}\left(b\mathrm {i} \right)^{2}+\ldots +{n \choose {n-1}}a\left(b\mathrm {i} \right)^{n-1}+{n \choose n}\left(b\mathrm {i} \right)^{n}$

Geometría y operaciones con complejos

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z₁ =a₁ + ib₁ y z₂ = a₂ + ib₂, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a₁, b₁) y (a₂,b₂), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z₁ + z₂.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z₁ y z₂, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z₁ · z₂. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades.También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Esbozo histórico

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r e^iφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma:f(t) = z e^iωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) $\lambda \,$ de la ecuación característica, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: $f(x)=e^{\lambda x}\,$.

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos, pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. La siguiente es una interpretación donde cada complejo se representa matricialmente, como una matriz de orden 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix}}$

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de nuevo de esta forma. Cualquier matriz no nula de esta forma es invertible, y su inverso es de nuevo de esta forma. Por consiguiente, las matrices de esta forma son un cuerpo. En efecto, este es exactamente el cuerpo de los complejos. Cualquier matriz puede ser escrita:

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix}}=a\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

Lo cual sugiere que se puede identificar la unidad con la matriz

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

y la unidad imaginaria

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

esto es, una rotación de 90 grados. ¡Nos damos cuenta de que el cuadrado de esta matriz es ciertamente igual a -1!

El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.

Véase también

Clasificación de los números Complejos $:\;\mathbb {C}$ Reales $:\;\mathbb {R}$ Racionales $:\;\mathbb {Q}$ Enteros $:\;\mathbb {Z}$ Naturales $:\;\mathbb {N}$ Uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Enlaces externos

• Historia
• Números complejos en Excel