Martingala

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En teoría de probabilidad, la martingala (galicismo de martingale) es un determinado proceso estocástico. tambien se le llama martingala a la ropa interior que usaban los caballeros debajo de las armaduras de hierro.

Sin embargo, se conoce comúnmente con este nombre a un método de apuesta en juegos de azar consistente en multiplicar sucesivamente en caso de pérdida una apuesta inicial determinada. En el momento de ganar la apuesta, el proceso se iniciaría de nuevo.

En la ruleta, por ejemplo, la martingala consistiría en comenzar apostando una determinada cantidad, por ejemplo 1 euro, al rojo. En caso de pérdida, se apostaría de nuevo al rojo, pero esta vez, duplicando la cantidad y así, sucesivamente, hasta ganar la apuesta. Llegado ese momento se compensarían las pérdidas y obtendríamos como beneficio la primera cantidad apostada. En una secuencia como negro-negro-negro-rojo, las apuestas habrían sido de 1-2-4-8, que suman 15 y en la última apuesta obtendríamos 16, con lo que se obtiene 1 de beneficio.

Sin embargo, está demostrado que no existe un método seguro para ganar a la banca en los juegos de azar de esperanza cero.

En el caso concreto de la ruleta, la falibilidad de la martingala se debe al hecho de que el apostante cuenta con un presupuesto limitado. En una secuencia desfavorable abocaría al apostante a apostar más dinero del que dispone. Si bien esta secuencia sería extremadamente rara, la pérdida sería insoportable. Incluso en algunos casinos existe un tope máximo de apuesta, por lo que, llegados a él, habría que detener el "método".

Por otra parte, en la ruleta, la banca gana 0,5 a 1, siempre que sale cero, con lo cual este juego en concreto es desfavorable para el apostante (esperanza negativa).

Está muy extendida la idea de que es posible ganar de forma segura con este método y algunos spammers la usan como cebo.

Análisis matemático de una ronda[editar]

Definamos una ronda como una secuencia de pérdidas consecutivas seguida de una ganancia o de la bancarrota del jugador. Después de cada ganancia, el jugador reinicia al valor inicial la cantidad apostada, y vuelve a jugar otra ronda. Una serie de apuestas siguiendo el método martingala es equivalente a una secuencia de rondas independientes.

Analicemos el valor esperado de una ronda. Para ello, definimos:

  • q: probabilidad de perder (e.g. para la ruleta es 20/38)
  • B: cantidad inicial apostada
  • N: cantidad máxima de dinero que el apostante puede permitirse perder (o que el casino acepte, en caso de ruletas con apuesta máxima)
  • n: logaritmo en base 2 de N (i.e., N = 2n)

La probabilidad de que el apostante pierda las n apuestas consecutivas es qn. Cuando esto ocurre, la cantidad de dinero perdida es:

\sum_{i=1}^n B \cdot 2^{i-1} = B (2^n - 1)

La probabilidad de que el apostante no pierda las n apuestas es 1 − qn. Cuando esto ocurre, el apostante gana B (la apuesta inicial).

Por tanto, el beneficio esperado por ronda es

(1-q^n) \cdot B - q^n \cdot B (2^n - 1) = B (1 - (2q)^n)

Si q > 1/2, la expresión 1 − (2q)n < 0 para todo n > 0. Esto quiere decir que en este juego es más probable perder que ganar. En otras palabras, considerando las rondas, el apostante perderá dinero en media. Además, cuanto más apueste, más perderá.

Veamos un ejemplo: Imaginemos que el apostante tiene 63 dólares disponible para apostar. En el primer juego, apuesta 1 dólar. Si pierde, apuesta 2 dólares la segunda vez, 4 la tercera, 8 la cuarta, 16 la quinta, y 32 la sexta (no hay una séptima vez porque el apostante no tiene tanto dinero).

Si gana 1 dólar en el primer juego, se lleva 1 dólar, y el juego empieza de nuevo. Si pierde la primera apuesta (1 dólar) y gana la segunda (2 dólares), el beneficio es también de 1 dólar.

Si pierde las seis apuestas, el apostante perderá sus 63 dólares, y no podrá seguir jugando.

En este ejemplo, la probabilidad de perder 63 dólares y de no poder seguir jugando es (20/38)^6 = 2.1256%. La probabilidad de ganar 1 dólar es igual a 1 menos la probabilidad de perder 6 veces seguidas, es decir, 1 - (20/38)^6 = 97.8744%.

El valor esperado de la martingala es (1 * .978744) + (-63*.021256) = .978744 - 1.339128 = -.36034. Es decir, la ronda media perderá 36 centavos.


¿Por qué se piensa que funciona siempre?

Como se puede apreciar, el éxito de la Martingala reside en una probabilidad de fracaso muy reducida, aunque esta quede asociada a grandes pérdidas. Es por ello que, en teoría, el juego debe repetirse un número relativamente elevado de veces para que sea probable que se produzcan pérdidas.

A pesar de su ineficacia demostrada, existe un contexto en el cual la Martingala sería siempre provechosa. Sucede que a mayor sea el exponente de q en el cálculo de la esperanza matemática, menores son las probabilidades de perder. Este exponente viene a denotar, en cierto modo, capacidad presupuestaria, pues responde ante el número de veces que el jugador podrá seguir apostando. Por tanto, ante un presupuesto infinito, la Martingala sería efectiva, pues la probabilidad de perder a lo largo de las apuestas sería nula: q=0. La variable q en este caso específico es igual a 1/2.

Ocurre entonces que, partiendo de una apuesta inicial muy baja y un presupuesto considerablemente alto, las probabilidades de perder en cada juego son escasas (aunque, recordemos, realizar el juego repetidamente generará pérdidas al jugador a largo plazo). Es por ello que normalmente los casinos tienen límites mínimos y máximos de apuesta, evitando así que el exponente de q o número de veces que el jugador es capaz de afrontar la pérdida sea un número alto.

Historia[editar]

Originalmente la martingala se refería a un tipo de estrategia de apuesta muy popular en Francia en el siglo XVIII. La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el apostante gana la apuesta en caso de que al lanzar una moneda caiga de cara y pierde en caso de que salga cruz.

El concepto de la martingala en la teoría de probabilidades fue introducido por Paul Pierre Lévy, y una gran parte del desarrollo original de la teoría lo realizó Joseph Leo Doob. Parte de la motivación para ese esfuerzo era demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles.

En el transcurso del tiempo este a su vez, entra al mercado bursátil con su método estócastico, que fue adaptado en forex gala, ya que éste a su vez trabaja en dos posiciones alza-baja. Esto quiere decir que con el tiempo varios sistemas pueden tener el sentido martingala.

Otros usos de Martingala[editar]

En lenguaje coloquial martingala se emplea como sinónimo de truco, treta o argucia. "Para cortar el vidrio con tijeras el cristalero empleó la martingala de hacerlo cortando debajo del agua..."