Método de Cardano

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El método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545 publicado por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò Fontana (1500-1557), este último apodado Tartaglia (que significa tartamudo).[1]

Historia[editar]

Escarceos[editar]

Los primeros esfuerzos de resolver una ecuación cúbica fueron hechos en la Antigüedad clásica. El problema de Delfos o de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo implican empleo de ecuaciones cúbicas. Los matemáticos de los países islámicos plantearon la posible solución, y acopiaron harto contenido que fue sistematizado por Omar Jayyam. La imposibilidad de resolver los citados problemas de Delfos y la trisección, solo con compás y regla, fue demostrada en 1837 por el matemático francés Pedro Wantzel .[2]

Renacimiento[editar]

En 1535 Tartaglia regentando la cátedra de matemática en Verona gana una brillante victoria en una competencia pública de matemática a Antonio María del Fiore. El tema de la competencia era la solución de la ecuación de tercer grado, que no pudieron los árabes, los indios ni los griegos. Fiore sabía cómo resolver la ecuación cúbica de la forma

Las fórmulas de solución las recibió de Scipione del Ferro como un secreto. Pero Tartaglia aún antes en 1530 había hallado la solución de un caso particular. El duelo se fijó para el 22 de febrero de 1535. Intercambiaron sendos 30 problemas mutuamente, para ser resueltos en 50 días. Tartaglia, quien obtuvo la fórmula de solución el 12 de febrero de 1535, resolvió los treinta problemas en dos horas, mientras Fiore no resolvió ni uno en los cincuenta días. [3]

Personajes y fórmulas[editar]

La primera solución de uno de los casos fue obtenida por el matemático Del Ferro, docente de la universidad de Bolonia.

Tartaglia en 1535 volvió a descubrir el método de las soluciones de las ecuaciones tipo ferroliano y creó la regla para solucionar otra forma de las cúbicas.

En 1539, el polémico científico italiano, Gerónimo Cardano, solicitó a Tartaglia mostrarle la fórmula y prometió no publicar jamás. Pero seis años después, en 1545 Cardano publicó la fórmula resolutoria en su obra Ars magna sive de regulis algebraicis, citando a Tartaglia como autor, provocando reclamos del creador y desencuentros con el publicador arbitrario.

Posteriormente[editar]

La solución trigonométrica en el caso irreducible, fue publicada por primera vez por el matemático francés, Francisco Viète , en la obra Supplementum regulis algebraicis.

La denominación de ecuación cúbica se constata en los textos de Renato Descartes en 1619 y de Guillermo Oughtred en 1631. Descartes e Isaac Newton, cocreador del cálculo infinitesimal, aconsejaron el uso de la forma canónica, i.e. todos los términos en el primer miembro de la ecuación.

Joseph-Louis de Lagrange empezó el uso de las notaciones para las tres raíces de una ecuación cúbica: [4]

Estrategia general del método[editar]

La ecuación general de tercer grado

con números reales , y , se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo que queda:

Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

  y  

La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial , las soluciones de la ecuación original.

Resolución[editar]

Partiendo de la ecuación

se realiza una sustitución del tipo .Entonces

Para hacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:

que también es equivalente al sistema de ecuaciones y . Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, y son las soluciones de la ecuación de segundo grado

De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.

Si Δ es positivo[editar]

La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

La única solución real es entonces . Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :

Si Δ es cero[editar]

La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

Si Δ es negativo[editar]

La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde y ; es el siguiente conjunto :

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose :

Aplicaciones del método de Cardano[editar]

El método de Cardano sirve para resolver cualquier ecuación cúbica que se presente en cualquier área de las ciencias como, por ejemplo, para resolver las ecuaciones cúbicas de estado que aparecen en la termodinámica y la fisicoquímica, donde las tres raíces son válidas matemáticamente, pero sólo dos de ellas son válidas físicamente, pues la de menor magnitud, si es que se ha desarrollado la ecuación cúbica en el volumen molar, representa el volumen molar de líquido, mientras que la mayor representa el volumen molar de vapor y la raíz intermedia en magnitud no tiene significado físico. Las mismas interpretaciones se hacen si las ecuaciones se desarrollan cúbicas en el factor de compresibilidad, denotado como Z.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. L. M. Fridman ¿Qué es la matemática? Hayka Libros de Ciencia, Moscú ( 2010) ISBN 978-5-396-00384-2
  2. N.V. Alexándrova Diccionario histórico de notaciones, términos y conceptos de as matemáticas ISBN 978-5-396-00676-8
  3. L.M. Fridman ¿Qué es la matemática? ISBN 978-5-396-00384-2
  4. Alexándrova Op. cit. pp. 101-102

Bibliografía[editar]

  • Uspensky, James Víctor. Teoría de Ecuaciones (1992) . Limusa Noriega Editores, Mexico D. F. ISBN 968-18-2335-4.
  • Handbook of Mathematical Functions. Abramowitz/Stegun. Sección 3.8. Pág. 17
  • Phase Equilibria in Chemical Engineering. Stanley M. Walas. pág. 48-49. Ejemplo 1.12
  • CRC. Handbook of Mathematical Sciences
  • Thermodynamics and Its Applications. Tester. Tercera edición. Apéndice E
  • Teoría de ecuaciones polinomiales. CINVESTAV. IPN. Barrera Mora/Villa Salvador
  • Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Murray R. Spiegel/John Liu/Lorenzo Abellanas. Segunda edición. Serie Schaum. Mc Graw-Hill(2003)
  • Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. I. Brohnstein/Zemendiev. Editorial Mir Moscú
  • Método matemáticos en ingeniería química. V. G. Jenson/G. V. Jeffreys. pág. 437-438

Enlaces externos[editar]

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