Ley de Fick

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La ley de Fick es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre del médico y fisiólogo alemán Adolf Fick (1829-1901), que las derivó en 1855.

En situaciones en las que existen gradientes de concentración de una sustancia, o de temperatura, se produce un flujo de partículas o de calor que tiende a homogeneizar la disolución y uniformizar la concentración o la temperatura. El flujo homogeneizador es una consecuencia estadística del movimiento azaroso de las partículas que da lugar al segundo principio de la termodinámica, conocido también como movimiento térmico casual de las partículas. Así los procesos físicos de difusión pueden ser vistos como procesos físicos o termodinámicos irreversibles.

Criterios[editar]

La ley de Difusión de Fick toma en cuenta ciertos parámetros para determinar el nivel de difusión de una especie dada:

  • magnitud de gradiente: un mayor gradiente acelera la difusión;
  • superficie de difusión;
  • difusividad másica entre A y B, definida para una especie A difundiéndose en una especie B.

Formulación[editar]

En el caso de existir diferencias de concentración de cualquier especie (concentración de sustancia o temperatura), el paseo aleatorio de las moléculas se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración hacia las regiones de menor concentración. El flujo de sustancia irá en el sentido opuesto del gradiente de concentración y, si éste es débil, podrá aproximarse por el primer término de la serie de Taylor, resultando la ley de Fick:

(1a) \mathbf{j} = - D\ \boldsymbol\nabla c

siendo D el coeficiente de difusión de la especie de concentración c.

En el caso particular del calor, la ley de Fick se conoce como ley de Fourier y se escribe como

(1b) \mathbf{q} = - k\ \boldsymbol\nabla T

siendo k\, la conductividad térmica.

Tomando la ley de conservación integral para la especie c, y aplicándole a esta última el teorema de Stokes se tiene:

(2a)\frac{\part}{\part t}\int_V c\ dV =
- \int_{\part V} \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S} \quad \Rightarrow \quad
\frac{\partial c}{\partial t} + \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{j} = 0

Combinando el resultado anterior (2a) con la ley de Fick (1a) resulta la ecuación de difusión o segunda ley de Fick:

(3a) \frac{\part c}{\part t} - D \nabla^2 c = \frac{\part c}{\partial t} -
D \left(\frac{\part^2 c}{\part x^2}+ \frac{\part^2 c}{\part y^2}+ \frac{\part^2 c}{\part z^2}\right) = 0

Si existe producción o destrucción de la especie (por una reacción química), a esta ecuación debe añadirse un término de fuente en el segundo miembro.

Para el caso particular de la temperatura, si se aplica que la energía interna es proporcional a la temperatura, el resultado es la ecuación del calor.

(2b)\frac{\part}{\part t}\int_V C_m(T-T_0) \ dV =
- \int_{\part V} \mathbf{q}\cdot d\mathbf{S} +\int_V \dot{Q}\ dV \quad \Rightarrow \quad
\frac{\partial (C_mT)}{\partial t} + \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{q} = \dot{Q}

(3b) C_m\frac{\partial T}{\partial t} - k \nabla^2 T = \dot{Q}

con C_m\, la capacidad calorífica y \dot{Q} la cantidad de calor generada internamente, si el medio es simplemente un conductor sin generación interna de calor \dot{Q} = 0

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • W.F. Smith, Foundations of Materials Science and Engineering 3rd ed., McGraw-Hill (2004)
  • H.C. Berg, Random Walks in Biology, Princeton (1977)
  • R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena, John Wiley & sons, (1976)
  • J. Crank, The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press (1980)