Diferencia entre revisiones de «Límite (matemática)»
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Informalmente la puta que te pario, se dice que '''el límite de la función f(''x'') es ''L'' cuando ''x'' tiende a ''p'' ''', y se escribe |
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{{ecuación|<math> \lim_{x\to p} \, \, f(x) = L</math>||center}} |
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Revisión del 00:34 17 nov 2009
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Límite de una función
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/L%C3%ADmite_01.svg/250px-L%C3%ADmite_01.svg.png)
Definición rigurosa
Informalmente la puta que te pario, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"para cada real ε mayor que cero existe un real δ mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y p (x no es igual a p) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Límites notables
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
- (número e)
Demostración
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
Elevando los términos de la inecuación a -1:
Calculando el límite cuando x tiende a 0:
Lo que es igual a:
Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.
Límite de una sucesión
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Sucesi%C3%B3n_001.svg/250px-Sucesi%C3%B3n_001.svg.png)
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a . Decimos que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), lo que denotamos como:
si podemos encontrar un número tal que todos los términos de la sucesión a cuando crece sin cota. Formalmente:
Propiedades de los límites
Generales
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
- Límite por un escalar.
- donde k es un multiplicador escalar.
- Límite de una suma.
- Límite de una resta.
- Límite de una multiplicación.
- Límite de una división.
Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :