Diferencia entre revisiones de «Límite (matemática)»
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*[http://matematicasies.com/spip.php?article951 Introducción al Cálculo de Límites] (vídeo) |
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Revisión del 21:51 8 jul 2009
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Límite de una función
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/L%C3%ADmite_01.svg/250px-L%C3%ADmite_01.svg.png)
Definición rigurosa
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe
si se puede encontrar un x suficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea próximo a L. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite de la función f(x), cuando x tiende a p, es L".
Límites notables
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
- (número e)
- (al igual que su recíproca)
- (al igual que su recíproca)
Demostración
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
Elevando los términos de la inecuación a -1:
Calculando el límite cuando x tiende a 0:
Lo que es igual a:
Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.
Límite de una sucesión
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Sucesi%C3%B3n_001.svg/250px-Sucesi%C3%B3n_001.svg.png)
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a . Decimos que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), lo que denotamos como:
si podemos encontrar un número tal que todos los términos de la sucesión a cuando crece sin cota. Formalmente:
Propiedades de los límites
Generales
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
- Límite por un escalar.
- donde k es un multiplicador escalar.
- Límite de una suma.
- Límite de una resta.
- Límite de una multiplicación.
- Límite de una división.
Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :
Enlaces externos
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