Hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F₁ y F₂, la línea negra que une los vértices es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D₁ y D₂. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro.

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.​

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Secciones cónicas.

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Véase también: hipérbole

Historia

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,​ donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.​

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,​ considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0,0)\,$ y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h,k)\,$

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

Ejemplos:

a)

${\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1$

b)

${\frac {(y)^{2}}{9}}-{\frac {(x)^{2}}{25}}=1$

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos $z\,$, en el plano $ReIm\,$; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias $|z-w_{1}|-|z-w_{2}|\,$, a dos puntos fijos llamados focos$w_{1}\,$ y $w_{2}\,$, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea $2l\,$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda: $|z-w_{1}|-|z-w_{2}|=2l\,$

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$r^{2}=a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$r^{2}=-a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

$r^{2}=a\csc 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

$r^{2}=-a\csc 2\theta \,$

Hipérbola con origen en el foco derecho:

$r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1-\varepsilon \cos \theta }}$

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

$r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1+\varepsilon \cos \theta }}$

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

${\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

${\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}$

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

Elementos de la hipérbola

Eje mayor o real

El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario

Eje menor o imaginario.

El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

Asíntotas

Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a x

Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.

Focos

Son dos puntos, $F_{1}\,y\,F_{2}$, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, $x$, de dicha hipérbola.

$\vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =cte$

Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Véase también

• Geometría analítica
• Sección cónica
• Recta
• Circunferencia
• Elipse
• Parábola
• Esferas de Dandelin

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hipérbola.
• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre hipérbola
• Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica hipérbola
• Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence
• Unit hyperbola en PlanetMath.
• Conic section en PlanetMath.
• Conjugate hyperbola en PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. «Hipérbola». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.