Función lipschitziana

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En matemática, una función f : MN entre espacios métricos (M,dM) y (N,dN) se dice que es lipschitziana (o se dice que satisface una condición de Lipschitz o que es Lipschitz continua) si existe una constante K > 0 tal que:[1]

En tal caso, K es llamada la constante Lipschitz de la función. El nombre viene del matemático alemán Rudolf Lipschitz. Para funciones definidas sobre espacios euclídeos la relación anterior puede escribirse:

Características y resultados principales[editar]

  • Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f : UR es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua MR que extiende f y tiene la misma constante Lipschitz que f.(ver también teorema de Kirszbraun).
  • Una función Lipschitz continua f : IR, donde I es un intervalo en R, es diferenciable casi en todas partes (siempre excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero). Además, si K es la constante Lipschitz de f, entonces |(f')(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Recíprocamente, si f : IR es una función diferenciable con derivada acotada, |(f')(x)| ≤ L para toda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz KL, como consecuencia del teorema del valor medio.

Definiciones relacionadas[editar]

Estas definiciones se requieren en el Teorema de Picard-Lindelöf y en resultados relacionados con él.

  • Localidad Lipschitz: Dados M, N, espacios métricos, se dice que una función es localmente lipschitz si para todo punto de M existe un entorno donde la función cumple la condición Lipschitz.
  • Función Lipschitz respecto una variable: Dados M, N, L espacios métricos, se dice que una función es localmente Lipschitz respecto si cumple la condición Lipschitz para puntos de N.

Referencias[editar]

  1. Searcóid, Mícheál Ó (2006), Metric spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7 , section 9.4
  2. Jiménez López, Víctor (2000). Ecuaciones diferenciales: cómo aprenderlas, cómo enseñarlas. EDITUM. p. 175. ISBN 84-8371-164-8. 

Bibliografía[editar]