En matemáticas, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial.
De manera precisa el teorema enuncia que si
es una función continua en un intervalo cerrado
y diferenciable en el intervalo abierto
entonces existe un punto
en
tal que la recta tangente en el punto
es paralela a la recta secante que pasa por los puntos
y
, esto es

Un caso especial de este teorema fue descrito por primera vez por Paramésuara (1370–1460), de la escuela de Kerala de astronomía y matemáticas en la India, en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhaskara II.[1] Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como teorema de Rolle, y se demostró sólo para polinomios, sin las técnicas de cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado y probado por Cauchy en 1823.[2]
Para una función que cumpla la
hipótesis de ser definida y continua en
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
y derivable en el intervalo abierto

entonces existe al menos algún punto
c en el intervalo

en que la
pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
.
Sea
una función continua en el intervalo cerrado
y diferenciable en el intervalo abierto
con
entonces existe al menos algún punto
tal que

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, las hipótesis son que si una función
es continua en
y diferenciable en
y toma valores iguales en los extremos del intervalo, esto es,
entonces existe al menos algún punto
tal que
, esto es, el lado derecho de la expresión anterior es cero.
Demostración[editar]
Demostración 1[editar]
Primero se consideran dos puntos
y
pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

Se define una función auxiliar:
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=f(x)-y\\&=f(x)-\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff205a3e60be0dbe1225e181111d2519dfa06881)
Dado que
es continua en
y diferenciable en
entonces
también lo es. Además
satisface las condiciones del Teorema de Rolle en
ya que:

Por el Teorema de Rolle, como
es diferenciable en
y
entonces existe un punto
tal que
y por tanto:

y así

que es lo que se quería demostrar.
Demostración 2[editar]
Sea
la pendiente de la recta secante entre
, se define la ecuación punto-pendiente:


o también,

De acuerdo al enunciado la función es derivable en
, por lo que se puede escoger algún valor
en dicho intervalo tal que
existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):

o también,

Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2

La matriz del sistema es:

Y su determinante es:

Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = mab
Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:
o también,

Con ello queda demostrado el teorema del valor medio.
Teoremas del valor medio para integrales definidas[editar]
Primer teorema del valor medio para integrales definidas[editar]
Sea
una función continua en el intervalo
entonces existe un valor
tal que[3]

Dado que el valor medio de
en
está definido como

por lo que podemos interpretar que
alcanza su punto medio en algún
.
En general, si
es continua y
es una función integrable que no cambia signo en
entonces existe
tal que

Demostración 1[editar]
Supóngase que
es continua y que
es una función integrable no negativa en
, por el teorema del valor extremo existen
y
tal que para
y
, como
es no negativa entonces

Sea

si
entonces ya terminamos pues

esto es

por lo que para todo

Si
entonces

por el teorema del valor intermedio, existe al menos un
tal que

esto es

Finalmente, si
es negativa en
entonces

y seguiremos obteniendo el mismo resultado que antes.
Demostración 2[editar]
Aplicando la integración de Riemann

La suma aloja todos los
dentro del intervalo
, por lo que procederemos a escoger un
fijo de dicho intervalo y que por ende hace que
Al reemplazar, la integral queda de la siguiente manera:

como
es constante respecto a la suma entonces

Reemplazando

Simplificando

Como
y
no son afectados por el límite ya que son constantes entonces

Despejando

Por lo tanto, queda verificado la existencia de
en donde la función evaluada en él, toma el valor de
, es decir,
![{\displaystyle \exists \;c\in [a,b]:\quad f(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24d9ed454a4fdc0d06f6c78952da4eae59a82b5)
Y así, queda demostrado el teorema del valor medio para integrales.
Teorema del valor medio en varias variables[editar]
El teorema del valor medio se puede generalizar para funciones reales de argumento vectorial. Esto se puede hacer parametrizando a la función y usando el teorema del valor medio de una variable.
Sea
un subconjunto abierto y convexo de
y sea
una función diferenciable. Sean
y definamos
. Como
es una función diferenciable de una variable, el teorema del valor medio nos da:

para algún
entre 0 y 1. Pero aparte tenemos
y
, calculando
tenemos, explícitamente:

donde
denota al gradiente y
al producto interno. Esto es un análogo exacto del teorema del valor medio en una variable (en el caso
éste es de hecho el teorema en una variable). Por la desigualdad de Cauchy–Schwarz, la ecuación nos da la estimación:

En particular, cuando las derivadas parciales de
están acotadas,
es Lipschitz continua (y por lo tanto uniformemente continua). Cabe mencionar que no requerimos que
sea continuamente diferenciable o continua en la cerradura de
. Sin embargo, para calcular
usando la regla de la cadena, necesitamos que
sea diferenciable en
; la existencia de las derivadas parciales con respecto a
y
no es por sí misma una condición suficiente para garantizar la validez del teorema.
Como una aplicación directa del teorema, podemos demostrar que
es contante si
es abierto, conexo y toda derivada parcial de
es 0. Sea un punto arbitrario
, y sea
. Queremos demostrar que
para todo
. Sea ahora
. EntoncesE es cerrado y no vacío.

para cada
en alguna vecindad de
. (En este paso es muy importante que
y
estén suficientemente cerca.) Como
es conexo, concluimos que
.
Los argumentos anteriores no dependen de nuestro sistema de coordenadas; por lo tanto se pueden generalizar en caso de que
sea un subconjunto de un espacio de Banach.
Generalizaciones[editar]
No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones
. En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:

Demostración[editar]
Teniendo en cuenta que dada una función

se tiene que si
es el segmento formado por
(siendo A conexo y abierto), es
y entonces

de donde se tiene que como
![\ \forall t \in [0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0885b831aa5cbc4c5af07c073bc3e6b76b601629)
es
para algún 
Para ver [1] basta tener en cuenta que si

y se tiene que

Sea la función h tal que
- es continua sobre un intervalo finito o infinito ya que...
- tiene derivada nula en cualquier punto de este intervalo, salvo un conjunto finito de puntos del intervalo
entonces esta función es constante sobre este intervalo.[4]
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.
Enlaces externos[editar]