Ir al contenido

Diferencia entre revisiones de «Factorización de matrices»

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 189.149.146.109 (disc.) a la última edición de MartinDM
Línea 11: Línea 11:
=== [[Factorización LU]] ===
=== [[Factorización LU]] ===
* Aplicable a: una [[matriz cuadrada]] ''A''
* Aplicable a: una [[matriz cuadrada]] ''A''
* Factorización: <math>A=LU</math>, donde ''L'' es una [[matriz triangular inferior]] y ''U'' es una [[matriz triangular superior]]
* PARA EMPEZAR FOLLWE ME @Yo PistolitaFactorización: <math>A=LU</math>, donde ''L'' es una [[matriz triangular inferior]] y ''U'' es una [[matriz triangular superior]]
* Notas: La factorización LU expresa el [[método de Gauss]] en forma matricial. En efecto, ''PA'' = ''LU'' donde ''P'' es una [[matriz de permutación]]. Los elementos de la diagonal principal de ''L'' son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz ''A'' sea [[matriz invertible|invertible]].
* Notas: La factorización LU expresa el [[método de Gauss]] en forma matricial. En efecto, ''PA'' = ''LU'' donde ''P'' es una [[matriz de permutación]]. Los elementos de la diagonal principal de ''L'' son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz ''A'' sea [[matriz invertible|invertible]].
* Resolución del sistema de ecuaciones lineales ''Ax'' = ''b'': primero se resuelve el sistema de ecuaciones ''Ly'' = ''b'' y después ''Ux'' = ''y''.
* Resolución del sistema de ecuaciones lineales ''Ax'' = ''b'': primero se resuelve el sistema de ecuaciones ''Ly'' = ''b'' y después ''Ux'' = ''y''.

Revisión del 22:16 8 oct 2012


En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.

Según las aplicaciones de la factorización podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Las siguientes factorizaciones se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes e inversión de matrices.

Factorización LU

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • PARA EMPEZAR FOLLWE ME @Yo PistolitaFactorización: , donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior
  • Notas: La factorización LU expresa el método de Gauss en forma matricial. En efecto, PA = LU donde P es una matriz de permutación. Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz A sea invertible.
  • Resolución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b: primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly = b y después Ux = y.
  • Existencia: Una condición necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.[1]
  • Métodos de cálculo: método de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1. El método de Doolittle es una modificación del mismo.

Factorización

  • Aplicable a: una matriz simétrica A.
  • Factorización: donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
  • Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
  • Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.

Factorización de Cholesky

  • Aplicable a: una matriz simétrica definida positiva A
  • Factorización: , donde L es una matriz triangular inferior con entradas en la diagonal positivas.
  • Notas: La factorización siempre existe y es única.

Factorización QR o triangularización ortogonal

  • Aplicable a: una matriz A m por n.
  • Factorización: donde Q es una matriz ortogonal m por m, y R es una matriz triangular superior m por n.
  • Métodos de cálculo: La factorización QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las columnas de A, mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens.
  • Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.

Descomposición en valores singulares

  • Aplicable a: una matriz A m-por-n.
  • Factorización: , donde Σ es una matriz diagonal mxn, y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente, siendo la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
  • Notas: a la matriz , donde es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.

Otros tipos de factorizaciones

Diagonalización de una matriz

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:
  • Existencia:

Forma canónica de Jordan

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:

Factorización de rango

  • Aplicable a: una matriz A de dimensiones
  • Factorización: , donde es una matriz y es una matriz

Factorización de Schur

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:

Tridiagonalización

  • Aplicable a: una matriz cuadrada simétrica A
  • Factorización:

Referencias

Bibliografía