Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

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En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Descripción del algoritmo de ortonormalización de Gram–Schmidt[editar]

Los dos primeros pasos del proceso de Gram–Schmidt

El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclidea.

En primer lugar tenemos que:

\mathbf{v}-{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u} = \mathbf{v} - \mathrm{proy}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v})

Es un vector ortogonal a \mathbf{u}. Entonces, dados los vectores \mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n , se define:

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{v}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1,
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{v}_3\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{v}_3\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u_2}\rangle}\mathbf{u}_2,

Generalizando en k:

\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{v}_k\rangle\over\langle\mathbf{u}_j,\mathbf{u}_j\rangle}\mathbf{u}_j

A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectores \mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n es ortogonal.

Para hallar los vectores ortonormales basta con dividir entre la norma de cada vector de la base hallada: \mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k \over ||\mathbf{u}_k||} = {\mathbf{u}_k \over \sqrt{\langle\mathbf{u}_k,\mathbf{u}_k\rangle}}

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