Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

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Animación que describe el proceso de ortonormalización en el espacio tridimensional.

En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero.[1] Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Interpretación geométrica[editar]

En el espacio euclídeo (R3, ·) con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera. Sean v1, v2, v3 dichos vectores.

El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de R3 compuesta por u1, u2, u3, se calcula de la siguiente manera.

  1. Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo u1 = v1.
  2. u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1.
  3. u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos. Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.

Descripción del algoritmo de ortonormalización de Gram–Schmidt[editar]

Los dos primeros pasos del proceso de Gram–Schmidt

El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclídea.

En primer lugar tenemos que:

Es un vector ortogonal a . Entonces, dados los vectores , se define:

Generalizando en k:

A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectores es ortogonal.

Proposición 1

Si

es un conjunto de vectores linealmente independientes, los vectores u1u1, ... uk definidos por

son todos no nulos. Dicho de otra manera, para cada k,


Demostración
Procedemos por inducción. Supongamos que fuese

esto implica por definición de u1 que

lo cual contradice la hipótesis de que es linealmente independiente. Luego,

Establezcamos la hipótesis inductiva como sigue.

Expresamos v1v1, ... vk en función de los u1u1, ... uk de la siguiente manera.

En la expresión, se ve que es posible despejar uk en función de una sucesión vj de vectores, puesto que la matriz del conjunto de sistemas es triangular inferior. Esto implica en particular que existen escalares

tales que

Supongamos que fuera uk = 0, en este caso queda

y por lo tanto existen escalares, no todos nulos, que producen una combinación nula con vectores de . Esto contradice la hipótesis de que es linealmente independiente. Luego,

igualdad que, por el principio de inducción, es válida para todo k natural

Proposición 2

El conjunto

está constituido por vectores mutuamente ortogonales.


Demostración
Sea

Debemos aplicar dos veces el principio de inducción para probar que

Comencemos por probar que

De la Proposición 1 se deduce que

lo cual por un lado, implica que (1, 1) está en P, y por otro, permite definir el vector

(1)

Por la linealidad del producto interno, se tiene

que, en (1), queda

finalmente, por la homogeneidad del producto interno tenemos

luego

Procedemos por inducción, la hipótesis inductiva es

La Proposición 1, permite definir

con lo cual, análogamente al caso j = 2, se tiene

Esto demuestra que

es decir, todo vector en es perpendicular a u1, con excepción del mismo u1.

Aplicaremos inducción sobre n, considérese la hipótesis inductiva

también puede escribirse

La Proposición 1 garantiza la segunda condición de la conjunción lógica, con lo cual sólo hace falta demostrar para n la primera.

por lo tanto

Para obtener una base ortonormal a partir de , basta con dividir entre la norma de cada vector de la base hallada:

Ejemplos[editar]

  • Dada una base de definida por

    mediante el proceso de Gram-Schmidt es posible construir una base ortogonal con respecto al producto interno usual de .

    .

    Se calculan los vectores u1u2 a partir de las fórmulas.

    nótese que

    de hecho, dado cualquier vector (ab) en R2, para todo escalar α se cumple

    .

  • Sea el sistema definido por

    Aplicamos el proceso, seleccionamos por ejemplo

    y calculamos

    luego

    .

    Análogamente se sigue para u3 que

    finalmente se obtiene

    que es una base ortogonal de R3 con respecto al producto escalar canónico.

Descripción formal[editar]

Una manera de expresar el algoritmo explícitamente es a través de pseudocódigo. Se construye, para ello, una función con las siguientes características.

  • Tiene como entrada un conjunto no vacío de vectores linealmente independientes.
  • Recibe dos instrucciones iterativas anidadas.

    1. Una estructura para cada, que asigna a v un vector de la entrada, por cada iteración.
    2. Una estructura mientras, que asigna a u el vector ortogonal a todos los u calculados en las iteraciones previas.

    En cada iteración, se ejecutan las funciones

    1. Proy, la cual calcula la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Se define matemáticamente como sigue.
      donde V es un espacio vectorial.
    2. obtener, como su nombre lo indica, obtiene el elemento de un conjunto dado su ordinal.
  • Devuelve finalmente un conjunto de vectores ortogonales.

Algoritmo Gram-Schmidt

función

para en haga
mientras
agregue a
devuelva

Para obtener una base ortonormal, basta normalizar los elementos de .

Referencias[editar]

  1. Sullivan, Michael. Trigonometría y geometría analítica (4ª edición). México: Pearson educación. p. 403. ISBN 9789688809433. 

Enlaces externos[editar]