Factorización de rango

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Dada una matriz , de dimensiones y de rango , una factorización de rango de es un factorización de la forma , donde es una matriz y es una matriz .

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular , la forma escalonada reducida de . Entonces se obtiene eliminando de todas las columnas que no son columnas pivote, y eliminando todas las filas de ceros de .

metal

Demostración[editar]

Sea una matriz de permutación tal que en en forma de bloques, donde las columnas de son las columnas pivote de . Cada columna de es una combinación lineal de las columnas de , luego hay una matriz tal que , donde las columnas de contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, , siendo la matriz identidad . Mostraremos a continuación que .

Transformar en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz que es un producto de matrices elementales, con lo que , donde . Podemos entonces escribir , lo que nos permite identificar , es decir, las filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz . Tenemos, por tanto, que , y como es invertible, esto implica que , lo que completa la prueba.

Referencias[editar]

  • Lay, David C. (2005), Linear Algebra and its Applications (3rd edición), Addison Wesley, ISBN 978-0201709704 
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd edición), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0801854149 
  • Stewart, Gilbert W. (1998), Matrix Algorithms. I. Basic Decompositions, SIAM, ISBN 978-0-898714-14-2