Extensión de cuerpos

En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental que rompe las pelotas a todo el mundo en fin la Teoría de Cuerpos. Un pene es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y "funcionan pedorro". Cuando se construye una extensión de un pene, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.borato la tenes adentro

Definición.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K...

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.

• Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, $(L,+)$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares $\cdot :K\times L\longrightarrow L$ como una restricción a $K\times L$ del producto en $\cdot :L\times L\longrightarrow$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• $a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )$,

• $(a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )$,

• $(a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha$,

• $1\cdot \alpha =\alpha$,

cualesquiera que sean $a,b\in K$ y $\alpha ,\beta \in L$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en $L$ y a que $K\subset L$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en $L$, y la cuarta se debe a que $K$ es subcuerpo de $L$, por lo que el elemento unidad de $L$ es el elemento unidad de $K$.

Extensión simple.

El conjunto $K(\alpha ):=\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x]\}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de $K$, es subcuerpo de $L$, y de hecho es la menor extensión de $K$ que contiene a $\alpha$. Se le denomina extensión generada por α sobre $K$.

== Extensiones algebraicas y trascendentes. ==sexo.com

Teorema de Kronecker.

Sea $K$ un cuerpo y $p\in K[x]$ un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión $L:K$ de manera que $p$ tiene alguna raíz en $L$.

Homomorfismo evaluación.

La aplicación $\beta :K[x]\longrightarrow K(\alpha )$ que a cada polinomio $p(x)\in K[x]$ le hace corresponder su evaluación en $\alpha$, i.e., $\beta (p)=p(\alpha )$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica.

Una extensión $L:K$ se dice que es algebraica si todo elemento $\alpha \in L$ es algebraico sobre $K$.

Elementos algebraicos.

Supongamos que existe algún polinomio $p\in K[x]$ que tiene a $\alpha$ por raíz.

En esta situación ($Ker(\beta )\neq \{0\}$, o equivalentemente, existe algún $p\in K[x]$ irreducible con ${\frac {K[x]}{(p)}}\cong K(\alpha )$) se dice que $\alpha$ es algebraico sobre $K$.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible.

Si $\alpha$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo $K$ de manera que $\alpha \notin K$, el polinomio $p$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., $Ker\beta =(p)$) es irreducible. Dividiendo $p$ por su coeficiente principal (aquél escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable $x$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por $m_{\alpha }^{K}$ y se denomina polinomio mónico irreducible de $\alpha$ respecto de $K$.

Claramente, $K(\alpha )\cong {\frac {K[x]}{(m_{\alpha }^{K})}}$.

Extensión trascendente.

Una extensión $L:K$ se dice que es trascendente si existe algún elemento $\alpha \in L$ que sea trascendente sobre $K$.

Elementos trascendentes.

Si el Ker$(\beta )=\{0\}$, será $\beta$ un monomorfismo. En ese caso, $K(x)$ es isomorfo a $K(\alpha )$.

Se dirá que el elemento $\alpha$ es trascendente sobre $K$ y que $K(\alpha )$ es una extensión trascendente sobre $K$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en $K$ que tenga por raíz a $\alpha$ (es decir, si $p\in K[x]$, entonces $p(\alpha )\neq 0$).

Grado de una extensión

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de $L$ como espacio vectorial sobre $K$, denotado por $dim_{K}(L)$. Se denomina grado de la extensión $L:K$ a la dimensión de $L$ como $K$-espacio vectorial: $[L:K]=dim_{K}(L)$.

Tomemos varios ejemplos:

K = Q el cuerpo de los racionales y L = R el de los reales; Las raíces de los enteros primos (√2, √3, √5, √7,...) son linealmente independientes sobre Q, lo que implica que R visto como espacio vectorial sobre Q, es de dimensión infinita.
Otro modo de obtener este resultado es considerar los números e, e²,e³... donde el número e es la base de los logaritmos neperianos. Como e es trascendental, no existe ningún polinomio no nulo P tal que P(e) = 0, lo que significa que 1,e, e², e³ ... son linealmente independientes. De aquí la dimensión infinita.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de R sobre Q fuese finita, R sería isomorfo a Qⁿ, lo que no es posible porque el cardenal de Qⁿ es el mismo que él de Q (igual al de N, aleph₀) que es estrictamente inferior al de R.

K = Q, el cuerpo de los racionales y L = Q(√2), el menor cuerpo que contiene a la vez Q y √2. L es también el conjunto de los P(√2), donde P es cualquier polinomio con coeficientes en Q.
Reagrupando los monomios de potencias pares por una parte, e impares por otra, de P(√2), se ve que los elementos de Q(√2) son los números de la forma a+b√2, con a y b racionales. Por lo tanto (1, √2) es una base de L visto como espacio vectorial sobre K, lo que significa que su dimensión es 2.
Hay que relacionar esta dimensión al hecho que √2 es raíz de un polinomio de segundo grado.

Se puede generalizar:

Si α es una raíz de un polinomio irreductible (sobre Q) de grado n, entonces Q(α) es una extensión de dimensión n sobre Q.