Extensión de cuerpos

En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo

• Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, $(L,+)$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares $\cdot: K \times L \longrightarrow L$ como una restricción a $K \times L$ del producto en $\cdot: L \times L \longrightarrow$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• $a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta)$,

• $(a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha)$,

• $(a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha$,

• $1 \cdot \alpha = \alpha$,

cualesquiera que sean $a,b \in K$ y $\alpha,\beta \in L$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en $L$ y a que $K \subset L$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en $L$, y la cuarta se debe a que $K$ es subcuerpo de $L$, por lo que el elemento unidad de $L$ es el elemento unidad de $K$.

Extensión simple

El conjunto $K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x], g(\alpha) \neq 0\}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de $K$, es subcuerpo de $L$, y de hecho es la menor extensión de $K$ que contiene a $\alpha$. Se le denomina extensión generada por α sobre $K$.

Extensiones algebraicas y trascendentes

Teorema de Kronecker.

Sea $K$ un cuerpo y $p \in K[x]$ un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión $L:K$ de manera que $p$ tiene alguna raíz en $L$.

Homomorfismo evaluación

La función $\beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha)$ que a cada polinomio $p(x) \in K[x]$ le hace corresponder su evaluación en $\alpha$, i.e., $\beta(p)=p(\alpha)$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica

Una extensión $L:K$ se dice que es algebraica si todo elemento $\alpha \in L$ es algebraico sobre $K$.

Elementos algebraicos

Supongamos que existe algún polinomio $p \in K[x]$ que tiene a $\alpha$ por raíz.

En esta situación ($\ker(\beta) \neq \{0\}$, o equivalentemente, existe algún $p \in K[x]$ irreducible con $\frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)$) se dice que $\alpha$ es algebraico sobre $K$.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible

Si $\alpha$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo $K$ de manera que $\alpha \notin K$, el polinomio $p$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., $\ker \beta = (p)$) es irreducible. Dividiendo $p$ por su coeficiente principal (aquél escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable $x$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por $m_{\alpha}^K$ y se denomina polinomio mónico irreducible de $\alpha$ respecto de $K$.

Claramente, $K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}$.

Extensión trascendente

Una extensión $L:K$ se dice que es trascendente si existe algún elemento $\alpha \in L$ que sea trascendente sobre $K$.

Elementos trascendentes

Si el ker$(\beta) = \{0\}$, será $\beta$ un monomorfismo. En ese caso, $K(x)$ es isomorfo a $K(\alpha)$.

Se dirá que el elemento $\alpha$ es trascendente sobre $K$ y que $K(\alpha)$ es una extensión trascendente sobre $K$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en $K$ que tenga por raíz a $\alpha$ (es decir, si $p \in K[x]$, entonces $p(\alpha) \neq 0$).

Grado de una extensión

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de $L$ como espacio vectorial sobre $K$, denotado por $\operatorname{dim}_K(L)$. Se denomina grado de la extensión $L:K$ a la dimensión de $L$ como $K$-espacio vectorial: $[L:K] = \operatorname{dim}_K(L)$.

Tomemos varios ejemplos:

K = $\mathbb{Q}$ el cuerpo de los racionales y L = $\mathbb{R}$ el cuerpo de los reales; $\mathbb{R}$ visto como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, es de dimensión infinita, es decir, $[\mathbb{R} : \mathbb{Q}] = \infty$.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ fuese finita, $\mathbb{R}$ sería isomorfo a $\mathbb{Q}^{n} , n \in \mathbb{N}$, lo que no es posible porque $|\mathbb{Q}^{n}| = |\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|$.

Si K = $\mathbb{Q}$, el cuerpo de los racionales y L = $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, el menor cuerpo que contiene a la vez $\mathbb{Q}$ y √2, claramente $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es una extension algebraica de $\mathbb{Q}$, ya que $\sqrt{2}$ es raíz del polinomio $x^2 -2$.

Al mismo tiempo:

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^{2}-2)$

ya que el ideal $(x^{2}-2)$ es el nucleo del morfismo $\beta: \mathbb{Q}[x] \longrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2$, es decir, la dimensión de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio monico e irreducible que tiene a √2 como raíz: $x^2 - 2$.

En general:

$[\mathbb{K}(\alpha) : \mathbb{K}] = n$ si $n$ es el grado del polinomio monico e irreducible en $\mathbb{K}[x]$ que tiene a $\alpha$ como raíz, donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo y $\mathbb{K}[x]$ son los polinomios con coeficientes en $\mathbb{K}$.

Véase también

• Teoría de cuerpos

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Extension Field» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.