En álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.
Sea
un cuerpo, decimos que un cuerpo
es una extensión de
si
es un subcuerpo de
; es decir, si
es un cuerpo y
es un cuerpo con la restricción a
de las operaciones
y
en
. Que
sea extensión de
se denota usualmente como
,
o
.
Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo
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En efecto, la adición de
sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de
por uno de
define el producto escalar del espacio vectorial.
Por definición de cuerpo,
es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares
como una restricción a
del producto en
. De esta forma es inmediato que se cumple que:
,
,
,
,
cualesquiera que sean
y
. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en
y a que
, la tercera se debe a que el producto es asociativo en
, y la cuarta se debe a que
es subcuerpo de
, por lo que el elemento unidad de
es el elemento unidad de
.
Sea
una extensión de cuerpos y
, consideremos el conjunto
. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de
y subcuerpo de
, y de hecho es la menor extensión de
que contiene a
. Se le denomina extensión generada por
sobre
. Al estar generada por un solo elemento, hablamos de una extensión simple.
Extensiones algebraicas y trascendentes
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Demostración:
La extensión
se puede construir como
, es decir, el anillo de polinomios con coeficientes en
módulo el ideal generado por
. Vamos a ver que cumple todos los requisitos: que es un cuerpo, una extensión de
y que contiene un elemento que es raíz de
.
Veamos que es un cuerpo. Como
es irreducible y
es un dominio de ideales principales, el ideal
generado por
es maximal. Como
es maximal, el cociente
es un cuerpo, como queríamos.
Para ver que es una extensión de
, basta encontrar un subcuerpo de
isomorfo a
o simplemente un morfismo inyectivo
(pues su conjunto imagen será un subcuerpo de
isomorfo a
por el segundo teorema de isomorfía). Un tal morfismo es el que manda cada
a la clase de equivalencia del polinomio constante igual a
, es decir,
. Este es claramente un morfismo y es inyectivo como todo morfismo de cuerpos.
Por último, encontremos un elemento de
que es raíz de
. Ese elemento es
, la clase de equivalencia del polinomio
. En efecto, como
y
para cualesquiera polinomios
(por definición de anillo cociente), tenemos que para cualquier polinomio
se tiene que
. En particular, obtenemos que
, como queríamos.
Homomorfismo evaluación
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La función
que a cada polinomio
le hace corresponder su evaluación en
, i. e.,
. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.
Una extensión
se dice que es algebraica si todo elemento
es algebraico sobre
.
Supongamos que existe algún polinomio
que tiene a
por raíz.
En esta situación (
, o equivalentemente, existe algún
irreducible con
) se dice que
es algebraico sobre
.
Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y solo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.
Si
es un elemento algebraico sobre el cuerpo
de manera que
, el polinomio
que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e.,
) es irreducible. Dividiendo
por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable
) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por
y se denomina polinomio mínimo de
sobre
.
Claramente,
.
Extensión trascendente
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Una extensión
se dice que es trascendente si existe algún elemento
que sea trascendente sobre
.
Elementos trascendentes
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Si el ker del homomorfismo evaluación es
, será
un monomorfismo. En ese caso,
(el cuerpo de fracciones de
) es isomorfo a
.
Se dirá que el elemento
es trascendente sobre
y que
es una extensión trascendente sobre
. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en
que tenga por raíz a
; es decir, si
, entonces
.
Grado de una extensión
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Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de
como espacio vectorial sobre
, denotado por
. Se denomina grado de la extensión
a la dimensión de
como
-espacio vectorial:
.
Tomemos varios ejemplos:
el cuerpo de los racionales y
el cuerpo de los reales;
visto como espacio vectorial sobre
, es de dimensión infinita, es decir,
.
El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de
sobre
fuese finita,
sería isomorfo a
, lo que no es posible porque
.
Si
, el cuerpo de los racionales y
, el menor cuerpo que contiene a la vez
y
, claramente
es una extensión algebraica de
, ya que
es raíz del polinomio
.
Al mismo tiempo:
ya que el ideal
es el núcleo del morfismo
, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.
Además
, es decir, la dimensión de
como espacio vectorial sobre
es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a
como raíz:
.
En general
si
es el grado del polinomio mónico e irreducible en
que tiene a
como raíz.