Extensión de cuerpos

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En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición.[editar]

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo[editar]

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, (L,+) es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares \cdot: K \times L \longrightarrow L como una restricción a K \times L del producto en \cdot: L \times L \longrightarrow. De esta forma es inmediato que se cumple que:

  • a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta),
  • (a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha),
  • (a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha,
  • 1 \cdot \alpha = \alpha,

cualesquiera que sean a,b \in K y \alpha,\beta \in L. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en L y a que K \subset L, la tercera se debe a que el producto es asociativo en L, y la cuarta se debe a que K es subcuerpo de L, por lo que el elemento unidad de L es el elemento unidad de K.

Extensión simple[editar]

El conjunto K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x], g(\alpha) \neq 0\}. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de K, es subcuerpo de L, y de hecho es la menor extensión de K que contiene a \alpha. Se le denomina extensión generada por α sobre K.

Extensiones algebraicas y trascendentes[editar]

Teorema de Kronecker.[editar]

Sea K un cuerpo y p \in K[x] un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión L:K de manera que p tiene alguna raíz en L.

Homomorfismo evaluación[editar]

La función \beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha) que a cada polinomio p(x) \in K[x] le hace corresponder su evaluación en \alpha, i.e., \beta(p)=p(\alpha). Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica[editar]

Una extensión L:K se dice que es algebraica si todo elemento \alpha \in L es algebraico sobre K.

Elementos algebraicos[editar]

Supongamos que existe algún polinomio p \in K[x] que tiene a \alpha por raíz.

En esta situación (\ker(\beta) \neq \{0\}, o equivalentemente, existe algún p \in K[x] irreducible con \frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)) se dice que \alpha es algebraico sobre K.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible[editar]

Si \alpha es un elemento algebraico sobre el cuerpo K de manera que \alpha \notin K, el polinomio p que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., \ker \beta = (p)) es irreducible. Dividiendo p por su coeficiente principal (aquél escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable x) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por m_{\alpha}^K y se denomina polinomio mónico irreducible de \alpha respecto de K.

Claramente, K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}.

Extensión trascendente[editar]

Una extensión L:K se dice que es trascendente si existe algún elemento \alpha \in L que sea trascendente sobre K.

Elementos trascendentes[editar]

Si el ker(\beta) = \{0\}, será \beta un monomorfismo. En ese caso, K(x) es isomorfo a K(\alpha).


Se dirá que el elemento \alpha es trascendente sobre K y que K(\alpha) es una extensión trascendente sobre K. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en K que tenga por raíz a \alpha (es decir, si p \in K[x], entonces p(\alpha) \neq 0).

Grado de una extensión[editar]

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de L como espacio vectorial sobre K, denotado por \operatorname{dim}_K(L). Se denomina grado de la extensión L:K a la dimensión de L como K-espacio vectorial: [L:K] = \operatorname{dim}_K(L).

Tomemos varios ejemplos:

K =  \mathbb{Q} el cuerpo de los racionales y L =  \mathbb{R} el cuerpo de los reales;  \mathbb{R} visto como espacio vectorial sobre  \mathbb{Q} , es de dimensión infinita, es decir,  [\mathbb{R} : \mathbb{Q}] = \infty .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de  \mathbb{R} sobre  \mathbb{Q} fuese finita,  \mathbb{R} sería isomorfo a  \mathbb{Q}^{n} , n \in \mathbb{N}, lo que no es posible porque  |\mathbb{Q}^{n}| = |\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|.

Si K =  \mathbb{Q} , el cuerpo de los racionales y L =  \mathbb{Q}(\sqrt{2}) , el menor cuerpo que contiene a la vez  \mathbb{Q} y √2, claramente  \mathbb{Q}(\sqrt{2}) es una extension algebraica de  \mathbb{Q} , ya que  \sqrt{2} es raíz del polinomio  x^2 -2 .

Al mismo tiempo:

 \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^{2}-2)

ya que el ideal  (x^{2}-2) es el nucleo del morfismo \beta: \mathbb{Q}[x] \longrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2}), claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además  [\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2 , es decir, la dimensión de  \mathbb{Q}(\sqrt{2}) como espacio vectorial sobre  \mathbb{Q} es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio monico e irreducible que tiene a √2 como raíz:  x^2 - 2 .

En general:

 [\mathbb{K}(\alpha) : \mathbb{K}] = n si  n es el grado del polinomio monico e irreducible en  \mathbb{K}[x] que tiene a  \alpha como raíz, donde  \mathbb{K} es un cuerpo y  \mathbb{K}[x] son los polinomios con coeficientes en  \mathbb{K} .

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]