Extensión de cuerpos

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En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición.[editar]

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo[editar]

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares como una restricción a del producto en . De esta forma es inmediato que se cumple que:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

cualesquiera que sean y . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en y a que , la tercera se debe a que el producto es asociativo en , y la cuarta se debe a que es subcuerpo de , por lo que el elemento unidad de es el elemento unidad de .

Extensión simple[editar]

El conjunto . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de , es subcuerpo de , y de hecho es la menor extensión de que contiene a . Se le denomina extensión generada por α sobre .

Extensiones algebraicas y trascendentes[editar]

Teorema de Kronecker.[editar]

Sea un cuerpo y un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión de manera que tiene alguna raíz en .

Homomorfismo evaluación[editar]

La función que a cada polinomio le hace corresponder su evaluación en , i.e., . Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica[editar]

Una extensión se dice que es algebraica si todo elemento es algebraico sobre .

Elementos algebraicos[editar]

Supongamos que existe algún polinomio que tiene a por raíz.

En esta situación (, o equivalentemente, existe algún irreducible con ) se dice que es algebraico sobre .

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible[editar]

Si es un elemento algebraico sobre el cuerpo de manera que , el polinomio que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ) es irreducible. Dividiendo por su coeficiente principal (aquél escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por y se denomina polinomio mónico irreducible de respecto de .

Claramente, .

Extensión trascendente[editar]

Una extensión se dice que es trascendente si existe algún elemento que sea trascendente sobre .

Elementos trascendentes[editar]

Si el ker, será un monomorfismo. En ese caso, es isomorfo a .


Se dirá que el elemento es trascendente sobre y que es una extensión trascendente sobre . Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en que tenga por raíz a (es decir, si , entonces ).

Grado de una extensión[editar]

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de como espacio vectorial sobre , denotado por . Se denomina grado de la extensión a la dimensión de como -espacio vectorial: .

Tomemos varios ejemplos:

K = el cuerpo de los racionales y L = el cuerpo de los reales; visto como espacio vectorial sobre , es de dimensión infinita, es decir, .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de sobre fuese finita, sería isomorfo a , lo que no es posible porque .

Si K = , el cuerpo de los racionales y L = , el menor cuerpo que contiene a la vez y √2, claramente es una extension algebraica de , ya que es raíz del polinomio .

Al mismo tiempo:

ya que el ideal es el núcleo del morfismo , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además , es decir, la dimensión de como espacio vectorial sobre es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: .

En general:

si es el grado del polinomio mónico e irreducible en que tiene a como raíz, donde es un cuerpo y son los polinomios con coeficientes en .

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]