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Extensión de cuerpos

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En álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición

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Sea un cuerpo, decimos que un cuerpo es una extensión de si es un subcuerpo de ; es decir, si es un cuerpo y es un cuerpo con la restricción a de las operaciones y en . Que sea extensión de se denota usualmente como , o .

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo

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Si es una extensión de , entonces es un espacio vectorial sobre .

En efecto, la adición de sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de por uno de define el producto escalar del espacio vectorial.

Por definición de cuerpo, es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares como una restricción a del producto en . De esta forma es inmediato que se cumple que:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

cualesquiera que sean y . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en y a que , la tercera se debe a que el producto es asociativo en , y la cuarta se debe a que es subcuerpo de , por lo que el elemento unidad de es el elemento unidad de .

Extensión simple

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Sea una extensión de cuerpos y , consideremos el conjunto . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de y subcuerpo de , y de hecho es la menor extensión de que contiene a . Se le denomina extensión generada por sobre . Al estar generada por un solo elemento, hablamos de una extensión simple.

Extensiones algebraicas y trascendentes

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Teorema de Kronecker.

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Sea un cuerpo y un polinomio irreducible en el anillo de polinomios sobre , entonces existe alguna extensión de forma que tiene alguna raíz en .

Demostración:

La extensión se puede construir como , es decir, el anillo de polinomios con coeficientes en módulo el ideal generado por . Vamos a ver que cumple todos los requisitos: que es un cuerpo, una extensión de y que contiene un elemento que es raíz de .

Veamos que es un cuerpo. Como es irreducible y es un dominio de ideales principales, el ideal generado por es maximal. Como es maximal, el cociente es un cuerpo, como queríamos.

Para ver que es una extensión de , basta encontrar un subcuerpo de isomorfo a o simplemente un morfismo inyectivo (pues su conjunto imagen será un subcuerpo de isomorfo a por el segundo teorema de isomorfía). Un tal morfismo es el que manda cada a la clase de equivalencia del polinomio constante igual a , es decir, . Este es claramente un morfismo y es inyectivo como todo morfismo de cuerpos.

Por último, encontremos un elemento de que es raíz de . Ese elemento es , la clase de equivalencia del polinomio . En efecto, como y para cualesquiera polinomios (por definición de anillo cociente), tenemos que para cualquier polinomio se tiene que . En particular, obtenemos que , como queríamos.

Homomorfismo evaluación

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La función que a cada polinomio le hace corresponder su evaluación en , i. e., . Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica

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Una extensión se dice que es algebraica si todo elemento es algebraico sobre .

Elementos algebraicos

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Supongamos que existe algún polinomio que tiene a por raíz.

En esta situación (, o equivalentemente, existe algún irreducible con ) se dice que es algebraico sobre .

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y solo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Si es un elemento algebraico sobre el cuerpo de manera que , el polinomio que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ) es irreducible. Dividiendo por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por y se denomina polinomio mínimo de sobre .

Claramente, .

Extensión trascendente

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Una extensión se dice que es trascendente si existe algún elemento que sea trascendente sobre .

Elementos trascendentes

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Si el ker del homomorfismo evaluación es, será un monomorfismo. En ese caso, (el cuerpo de fracciones de ) es isomorfo a .


Se dirá que el elemento es trascendente sobre y que es una extensión trascendente sobre . Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en que tenga por raíz a ; es decir, si , entonces .

Grado de una extensión

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Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de como espacio vectorial sobre , denotado por . Se denomina grado de la extensión a la dimensión de como -espacio vectorial: .

Tomemos varios ejemplos:

el cuerpo de los racionales y el cuerpo de los reales; visto como espacio vectorial sobre , es de dimensión infinita, es decir, .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de sobre fuese finita, sería isomorfo a , lo que no es posible porque .

Si , el cuerpo de los racionales y , el menor cuerpo que contiene a la vez y , claramente es una extensión algebraica de , ya que es raíz del polinomio .

Al mismo tiempo:

ya que el ideal es el núcleo del morfismo , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además , es decir, la dimensión de como espacio vectorial sobre es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a como raíz: .

En general si es el grado del polinomio mónico e irreducible en que tiene a como raíz.

Véase también

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Enlaces externos

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