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Revisión del 14:25 30 jun 2021

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas de las diagonales de la matriz son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz $D=(d_{i,j})$ es diagonal si:

d_{i,j}=0\;{\mbox{si}}\;i\neq j\quad \forall \;i,j\in \{1,2,\dots ,n\}

Ejemplo:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a₁,...,a_n) para una matriz diagonal que tiene las entradas a₁,...,a_n en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

y para el producto de matrices,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

La matriz diagonal diag(a₁,...,a_n) es invertible si y sólo si las entradas a₁,...,a_n son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a₁,...,a_n) equivale a multiplicar la fila i-ésima de A por a_i para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a₁,...,a_n) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por a_i para todo i.

Propiedades

Los autovalores de $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ son a₁,...,a_n.
Los vectores $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ forman una base de autovectores.
El determinante de $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ es igual al producto $a_{1}\cdots a_{n}$ .

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.

Datos: Q332791

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 {{Referencias|t=20210405174930}}
-En [[álgebra lineal]], una '''[[matriz (matemática)|matriz]] diagonal''' es una [[matriz cuadrada]] en que las entradas de las diagonales de la matriz son todas nulas salvo en la [[diagonal principal]], y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (d<sub>i,j</sub>) es diagonal si:
+En [[álgebra lineal]], una '''[[matriz (matemática)|matriz]] diagonal''' es una [[matriz cuadrada]] en que las entradas de las diagonales de la matriz son todas nulas salvo en la [[diagonal principal]], y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz <math>D=(d_{i,j})</math> es diagonal si:
-:<math>d_{i,j} = 0 \mbox{ si } i \ne j </math>
+:<math>d_{i,j}=0\;\mbox{si}\;i\neq j\quad\forall\;i,j\in\{1,2,\dots,n\} </math>
 Ejemplo:
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 Multiplicar la matriz ''A'' por la ''izquierda'' con diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) equivale a multiplicar la fila ''i''-ésima de ''A'' por ''a''<sub>''i''</sub> para todo ''i''. Multiplicar la matriz ''A'' por la ''derecha'' con diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) equivale a multiplicar la columna ''i''-ésima de ''A'' por ''a''<sub>''i''</sub> para todo ''i''.
+== Propiedades ==
-== Autovalores, autovectores y determinante ==
-* Los [[autovalor]]es de diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) son ''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>.
+* Los [[autovalor]]es de <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> son ''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>.
-* Los vectores '''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub> forman una [[base (álgebra lineal)|base]] de autovectores.
+* Los vectores <math>\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n</math> forman una [[base (álgebra lineal)|base]] de autovectores.
-* El determinante de diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) es igual al producto ''a''<sub>1</sub>...''a''<sub>''n''</sub>.
+* El determinante de <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> es igual al producto <math>a_1\cdots a_n</math>.
 == Usos ==