Diferencia entre revisiones de «Divisibilidad»
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Decimos que un [[número entero]] '''b''' es '''divisible''' entre otro entero '''a''' (distinto de cero) si existe un tercer entero '''c''' tal que: |
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Decimos que un [[número entero]] '''b''' es '''divisible''' entre otro entero '''a''' (distinto de cero) si existe un tercer entero '''c''' tal que:<center>'''b = a · c'''</center>Se suele expresar de la forma '''a'''|'''b''', que se lee '''a''' divide a '''b''', o '''a''' es '''[[divisor]]''' de '''b''', o también '''b''' es '''[[múltiplo]]''' de '''a'''. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero ''c'' tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la [[división euclídea]] (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el [[algoritmo de la división]].Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los [[número]]s que no admiten más que estos dos divisores se denominan [[número primo|números primos]]. Los que admiten más de dos divisores se llaman [[número compuesto|números compuestos]]== Propiedades ==Sean <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>, es decir <math>\ a</math>, <math>\ b</math> y <math>\ c</math> son [[número entero|números enteros]]. Tenemos las siguientes propiedades básicas:#<math>a\mid a</math> (Propiedad Refleja). #Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>a\mid c</math> (Propiedad Transitiva).#Si <math>a\mid b</math> , entonces <math>|a|\leq |b|</math>.#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid c</math>, entonces <math>a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}</math>.#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid b \pm\ c</math>, entonces <math>a\mid c</math>#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid a</math>, entonces <math>\ |a|=|b|</math>.#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\neq 0</math>, entonces <math>\frac{b}{a}\mid b</math>.#Para <math>c\neq 0</math>, <math>a\mid b</math> si y sólo si <math>ac\mid bc</math>#Si <math>a\mid bc</math> y [[Máximo común divisor|<math>\ mcd(a,b)=1</math>]], entonces <math>a\mid c</math>.#Si <math>\ mcd(a,b)=1</math> y <math>\ c</math> cumple que <math>a\mid c</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>ab\mid c</math>.Como <math>0=0\cdot n</math> y <math>n=n\cdot 1</math> se tiene que <math>n\mid 0</math> y <math>1\mid n</math> para todo <math>\ n</math> entero. Si <math>\ m</math> no es divisible por <math>\ n</math> escribimos <math>n\nmid m</math>. Notemos que <math>0\nmid m</math> para todo <math>\ m</math> distinto de cero, pues <math>m\neq 0=k\cdot 0</math> para todo <math>\ k</math> entero..== Criterios de divisibilidad == Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división: {| class="wikitable"|-!Número!Criterio!Ejemplo|-|'''[[Dos|2]]'''|El número termina en cero o cifra par.|378: porque "8" es par.|-|'''[[Tres|3]]'''|La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.|480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.|-|'''[[Cuatro|4]]'''|El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. |7324: porque 24 es múltiplo de 4.|-|'''[[Cinco|5]]'''|La última cifra es 0 ó 5.|485: porque acaba en 5.|-|'''[[Seis|6]]'''|El número es divisible por 2 y por 3.|24: Ver criterios anteriores.|-|rowspan=2|'''[[Siete|7]]'''|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.|469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.|-|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.|52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7. |-|'''[[Ocho|8]]'''|El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.|27280: porque 280 es múltiplo de 8.|-|'''[[Nueve|9]]'''|La suma de sus cifras es múltiplo de 9.|3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.|-|'''[[Diez|10]]'''|La última cifra es 0.|470: La última cifra es 0.|-|'''[[Once|11]]'''|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.|42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 1144: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11|-|'''[[Doce|12]]'''|El número es divisible por 3 y 4.|528: Ver criterios anteriores.|-|rowspan=2|'''[[Trece|13]]'''|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es.|364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.|-|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.|432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.|-|'''[[Catorce|14]]'''|El número es divisible por 2 y por 7.|224: Ver criterios anteriores|-|'''[[Quince|15]]'''|El número es divisible por 3 y por 5.|255: Ver criterios anteriores|-|'''[[Dieciséis|16]]'''|El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16.|254176: porque 4176 es múltiplo de 16.|-|'''[[Diecisiete|17]]'''|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17.|493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.|-|'''[[Dieciocho|18]]'''|El número es divisible por 2 y por 9.|576: Ver criterios anteriores|-|'''[[Diecinueve|19]]'''|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le suma esta última cifra multiplicada por 2, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 19.|323: porque 32+3·2 = 38 es múltiplo de 19.|-|'''[[Veinte|20]]'''|El número acaba en cero y la penúltima cifra es par.|480: porque acaba en 0 y 8 es par.|-|'''[[Veintiuno|21]]'''|El número es divisible por 3 y por 7.|231: Ver criterios anteriores|-|'''[[Veintidós|22]]'''|El número es divisible por 2 y por 11.|220: Ver criterios anteriores|-|'''[[Veinticuatro|24]]'''|El número es divisible por 3 y por 8.|480: Ver criterios anteriores|-|'''[[Veinticinco|25]]'''|Las dos últimas cifras son 00 ó múltiplo de 25.|9325: porque acaba en 25|-|'''[[Veintiséis|26]]'''|El número es divisible por 2 y por 13.|234: Ver criterios anteriores|-|'''[[Veintiocho|28]]'''|El número es divisible por 4 y por 7.|336: Ver criterios anteriores|-|'''[[Treinta|30]]'''|El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.|690: porque acaba en cero y 6+9+0 = 15 es múltiplo de 3|}== Véase también ==* [[Anexo:Tabla de divisores|Tabla de divisores]]* [[Máximo común divisor]][[Categoría:Teoría de números]][[Categoría:Aritmética elemental]][[ca:Criteris de divisibilitat]][[de:Teilbarkeit]][[en:Divisibility rule]][[gl:Divisibilidade]][[he:מבחני התחלקות]][[lv:dalāmības pazīmes]][[uz:Boʻlinish alomatlari]][[ru:Признаки делимости]][[uk:Ознаки подільності чисел]] |
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<center>'''b = a · c'''</center> |
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Se suele expresar de la forma '''a'''|'''b''', que se lee '''a''' divide a '''b''', o '''a''' es '''[[divisor]]''' de '''b''', o también '''b''' es '''[[múltiplo]]''' de '''a'''. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero ''c'' tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la [[división euclídea]] (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el [[algoritmo de la división]]. |
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Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los [[número]]s que no admiten más que estos dos divisores se denominan [[número primo|números primos]]. Los que admiten más de dos divisores se llaman [[número compuesto|números compuestos]] |
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== Propiedades == |
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Sean <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>, es decir <math>\ a</math>, <math>\ b</math> y <math>\ c</math> son [[número entero|números enteros]]. Tenemos las siguientes propiedades básicas: |
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#<math>a\mid a</math> (Propiedad Refleja). |
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#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>a\mid c</math> (Propiedad Transitiva). |
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#Si <math>a\mid b</math> , entonces <math>|a|\leq |b|</math>. |
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#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid c</math>, entonces <math>a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}</math>. |
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#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid b \pm\ c</math>, entonces <math>a\mid c</math> |
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#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid a</math>, entonces <math>\ |a|=|b|</math>. |
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#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\neq 0</math>, entonces <math>\frac{b}{a}\mid b</math>. |
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#Para <math>c\neq 0</math>, <math>a\mid b</math> si y sólo si <math>ac\mid bc</math> |
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#Si <math>a\mid bc</math> y [[Máximo común divisor|<math>\ mcd(a,b)=1</math>]], entonces <math>a\mid c</math>. |
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#Si <math>\ mcd(a,b)=1</math> y <math>\ c</math> cumple que <math>a\mid c</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>ab\mid c</math>. |
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Como <math>0=0\cdot n</math> y <math>n=n\cdot 1</math> se tiene que <math>n\mid 0</math> y <math>1\mid n</math> para todo <math>\ n</math> entero. Si <math>\ m</math> no es divisible por <math>\ n</math> escribimos <math>n\nmid m</math>. Notemos que <math>0\nmid m</math> para todo <math>\ m</math> distinto de cero, pues <math>m\neq 0=k\cdot 0</math> para todo <math>\ k</math> entero. |
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== Criterios de divisibilidad == |
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Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división: |
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!Número |
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!Criterio |
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!Ejemplo |
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|'''[[Dos|2]]''' |
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|El número termina en cero o cifra par. |
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|378: porque "8" es par. |
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|'''[[Tres|3]]''' |
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|La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. |
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|480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3. |
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|'''[[Cuatro|4]]''' |
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|El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. |
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|7324: porque 24 es múltiplo de 4. |
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|'''[[Cinco|5]]''' |
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|La última cifra es 0 ó 5. |
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|485: porque acaba en 5. |
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|'''[[Seis|6]]''' |
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|El número es divisible por 2 y por 3. |
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|24: Ver criterios anteriores. |
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|rowspan=2|'''[[Siete|7]]''' |
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|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. |
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|469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7. |
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|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7. |
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|52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7. |
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|'''[[Ocho|8]]''' |
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|El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8. |
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|27280: porque 280 es múltiplo de 8. |
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|'''[[Nueve|9]]''' |
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|La suma de sus cifras es múltiplo de 9. |
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|3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. |
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|'''[[Diez|10]]''' |
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|La última cifra es 0. |
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|470: La última cifra es 0. |
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|'''[[Once|11]]''' |
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|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. |
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Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales. |
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|42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11 |
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44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11 |
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|'''[[Doce|12]]''' |
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|El número es divisible por 3 y 4. |
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|528: Ver criterios anteriores. |
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|rowspan=2|'''[[Trece|13]]''' |
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|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es. |
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|364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13. |
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|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es. |
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|432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13. |
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|'''[[Catorce|14]]''' |
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|El número es divisible por 2 y por 7. |
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|224: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Quince|15]]''' |
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|El número es divisible por 3 y por 5. |
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|255: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Dieciséis|16]]''' |
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|El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16. |
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|254176: porque 4176 es múltiplo de 16. |
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|'''[[Diecisiete|17]]''' |
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|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17. |
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|493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17. |
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|'''[[Dieciocho|18]]''' |
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|El número es divisible por 2 y por 9. |
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|576: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Diecinueve|19]]''' |
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|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le suma esta última cifra multiplicada por 2, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 19. |
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|323: porque 32+3·2 = 38 es múltiplo de 19. |
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|'''[[Veinte|20]]''' |
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|El número acaba en cero y la penúltima cifra es par. |
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|480: porque acaba en 0 y 8 es par. |
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|'''[[Veintiuno|21]]''' |
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|El número es divisible por 3 y por 7. |
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|231: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Veintidós|22]]''' |
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|El número es divisible por 2 y por 11. |
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|220: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Veinticuatro|24]]''' |
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|El número es divisible por 3 y por 8. |
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|480: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Veinticinco|25]]''' |
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|Las dos últimas cifras son 00 ó múltiplo de 25. |
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|9325: porque acaba en 25 |
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|'''[[Veintiséis|26]]''' |
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|El número es divisible por 2 y por 13. |
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|234: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Veintiocho|28]]''' |
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|El número es divisible por 4 y por 7. |
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|336: Ver criterios anteriores |
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|'''[[Treinta|30]]''' |
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|El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. |
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|690: porque acaba en cero y 6+9+0 = 15 es múltiplo de 3 |
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|} |
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== Véase también == |
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* [[Anexo:Tabla de divisores|Tabla de divisores]] |
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* [[Máximo común divisor]] |
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[[Categoría:Teoría de números]] |
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[[Categoría:Aritmética elemental]] |
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[[ca:Criteris de divisibilitat]] |
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[[de:Teilbarkeit]] |
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[[en:Divisibility rule]] |
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[[gl:Divisibilidade]] |
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[[he:מבחני התחלקות]] |
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[[lv:dalāmības pazīmes]] |
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[[uz:Boʻlinish alomatlari]] |
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[[ru:Признаки делимости]] |
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[[uk:Ознаки подільності чисел]] |
Revisión del 20:37 16 jul 2009
Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.
Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos
Propiedades
Sean , es decir , y son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:
- (Propiedad Refleja).
- Si y , entonces (Propiedad Transitiva).
- Si , entonces .
- Si y , entonces .
- Si y , entonces
- Si y , entonces .
- Si y , entonces .
- Para , si y sólo si
- Si y , entonces .
- Si y cumple que y , entonces .
Como y se tiene que y para todo entero. Si no es divisible por escribimos . Notemos que para todo distinto de cero, pues para todo entero. .
Criterios de divisibilidad
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:
Número | Criterio | Ejemplo |
---|---|---|
2 | El número termina en cero o cifra par. | 378: porque "8" es par. |
3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. | 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3. |
4 | El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. | 7324: porque 24 es múltiplo de 4. |
5 | La última cifra es 0 ó 5. | 485: porque acaba en 5. |
6 | El número es divisible por 2 y por 3. | 24: Ver criterios anteriores. |
7 | Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. | 469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7. |
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7. | 52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7. | |
8 | El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8. | 27280: porque 280 es múltiplo de 8. |
9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. | 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. |
10 | La última cifra es 0. | 470: La última cifra es 0. |
11 | Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.
Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales. |
42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11
|
12 | El número es divisible por 3 y 4. | 528: Ver criterios anteriores. |
13 | Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es. | 364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13. |
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es. | 432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13. | |
14 | El número es divisible por 2 y por 7. | 224: Ver criterios anteriores |
15 | El número es divisible por 3 y por 5. | 255: Ver criterios anteriores |
16 | El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16. | 254176: porque 4176 es múltiplo de 16. |
17 | Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17. | 493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17. |
18 | El número es divisible por 2 y por 9. | 576: Ver criterios anteriores |
19 | Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le suma esta última cifra multiplicada por 2, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 19. | 323: porque 32+3·2 = 38 es múltiplo de 19. |
20 | El número acaba en cero y la penúltima cifra es par. | 480: porque acaba en 0 y 8 es par. |
21 | El número es divisible por 3 y por 7. | 231: Ver criterios anteriores |
22 | El número es divisible por 2 y por 11. | 220: Ver criterios anteriores |
24 | El número es divisible por 3 y por 8. | 480: Ver criterios anteriores |
25 | Las dos últimas cifras son 00 ó múltiplo de 25. | 9325: porque acaba en 25 |
26 | El número es divisible por 2 y por 13. | 234: Ver criterios anteriores |
28 | El número es divisible por 4 y por 7. | 336: Ver criterios anteriores |
30 | El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. | 690: porque acaba en cero y 6+9+0 = 15 es múltiplo de 3 |