Coseno

En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c = 1).

$\cos(\alpha )=b\,$

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

También se puede definir mediante exponenciales de la forma:

${\rm {cos}}(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

Donde i es la unidad imaginaria.

El coseno como serie de Taylor

Su expansión en Serie de Taylor en torno a x=0 es:

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots +{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\;x^{2n}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\;x^{2n}$

Representación gráfica

Archivo:FuncionTrigonometriaCoseno.svg

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x expresados en unidades de $\pi$ Radián. La función coseno, denominada cosinusoide.

Archivo:SexaCos.svg

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x en grados sexagesimales.

Coseno de una suma o resta de ángulos

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica se muestra a partir del producto escalar de dos vectores.

$\forall \ \theta ,\phi \in \mathbb {R}$

• Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

${\begin{cases}{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos \left(\phi -\theta \right)\\{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=x_{v}x_{u}+y_{v}y_{u}\\\end{cases}}$

• Por igualación se define que

$|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos \left(\phi -\theta \right)=x_{v}x_{u}+y_{v}y_{u}$

• Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir

$x_{v}=|{\vec {v}}|\cos \phi$

$y_{v}=|{\vec {v}}|\sin \phi$

• Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

$|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos \left(\phi -\theta \right)=|{\vec {v}}|\cos \phi |{\vec {u}}|\cos \theta +|{\vec {v}}|\sin \phi |{\vec {u}}|\sin \theta$

• Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro

$|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos \left(\phi -\theta \right)=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|(\cos \phi \cos \theta +\sin \phi \sin \theta )$

• Simplificando nos queda la identidad trigonométrica

$\cos \left(\phi -\theta \right)=\cos \phi \cos \theta +\sin \phi \sin \theta$

Coseno de la suma de dos ángulos

• Si hacemos

$\cos \left(\phi -(-\theta \right))=\cos \phi \cos(-\theta )+\sin \phi \sin(-\theta )$

• obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale

$\cos \left(\phi +\theta \right)=\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta$

Forma resumida

$\cos \left(\phi \pm \theta \right)=\cos \phi \cos \theta \mp \sin \phi \sin \theta$

Coseno de un ángulo doble

Tenemos que

$\cos \left(\phi +\theta \right)=\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta$

Hagamos $\phi =\theta \,$ Entonces

$\cos \left(2\phi \right)=\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi$

Coseno del ángulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea $\alpha ,\phi \in \mathbb {R}$

Como $\cos \left(2\phi \right)=\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi$

la podemos escribir como

$\cos \left(2\phi \right)=2cos^{2}\phi -1$

Sea $\phi ={\frac {\alpha }{2}}$

Entonces obtenemos

${\Bigg |}\cos {\Bigg (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigg )}{\Bigg |}={\sqrt {\frac {\cos \alpha +1}{2}}}$

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

$\cos {\Bigg (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigg )}={\sqrt {\frac {\cos \alpha +1}{2}}}$

Transformación de una suma de cosenos en producto

$\cos \phi +\cos \theta =2\cos {\Bigg (}{\frac {\phi +\theta }{2}}{\Bigg )}\cos {\Bigg (}{\frac {\phi -\theta }{2}}{\Bigg )}$

Demostración

Sabiendo que $\forall \ \alpha ,\beta ,\theta ,\phi \in \ \mathbb {R}$

Entonces

$\cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos(\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$

Hagamos $\theta =\alpha +\beta \,$ y $\phi =\alpha -\beta \,$

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

$\alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}$

$\beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}$

Reemplazando se obtiene

$\cos \phi +\cos \theta =2\cos {\Bigg (}{\frac {\theta +\phi }{2}}{\Bigg )}\cos {\Bigg (}{\frac {\theta -\phi }{2}}{\Bigg )}$

Análogamente se demuestra para

$\cos \phi -\cos \theta =-2\sin {\Bigg (}{\frac {\phi +\theta }{2}}{\Bigg )}\sin {\Bigg (}{\frac {\phi -\theta }{2}}{\Bigg )}$

Derivada del Coseno

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

lo que es

$\cos 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}$

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

$\cos 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot \cos h-\sin x\cdot \sin h-\cos x}{h}}$

Factorizando

$\cos 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot {\Big (}\cos h-1{\Big )}-\sin x\cdot \sin h}{h}}$

Separando, sabiendo que todas las funciones son continuas, tenemos

$\cos 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot {\Big (}\cos h-1{\Big )}}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\cdot \sin h}{h}}$

Sabiendo que $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$ y que el primer límite queda determinado utilizando las relaciones de suma de senos junto con el límite recién escrito, se obtiene que el primer término queda determinado y da 0, entonces

$\cos 'x=-\sin x\,$

Generalizaciones del coseno

• coseno hiperbólico cosh(x)
• función elíptica cn(x)

Véase también

• Arcocoseno
• Seno
• Tangente
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par
• Función impar