Fracción

En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis​, roto, o quebrado) es la expresión de una cantidad dividida entre otra.

${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}=1$

tres cuartos más un cuarto

Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional.

Representación de las fracciones

Las fracciones se pueden representar de diversas formas, así, la fracción "tres dividido entre cuatro", "tres entre cuatro", "tres partido en cuatro" o "tres cuartos" puede escribirse de cualquiera de estas formas:

• ${\dfrac {3}{4}}$
• 3 ÷ 4
• 3 : 4
• ³/₄

En este ejemplo, el número 3 se llama numerador y el 4 denominador. Las fracciones son números racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son números enteros. Su valor, en forma decimal es 0,75, el mismo resultado que se obtiene al dividir 3 entre 4.

En el caso de una representación gráfica, se puede trazar un círculo dividido en cuatro partes iguales, de las que se retiraría una de las cuatro partes: las tres partes sobrantes representan la fracción ³/₄..

Clasificación de fracciones

Ejemplo de fraccción aparente.

Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas están las siguientes proporciones para cada una:

• Según la relación entre el numerador y el denominador:
  • Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: 3/6, 2/5, 3/4
  • Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: 13/6, 18/8, 4/2
• Según la relación entre los denominadores:
  • Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 3/4 y 7/4
  • Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: 3/9 y 4/11
• Según la relación entre el numerador y el denominador:
  • Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada.
  • Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada.
• Otras clasificaciones:
  • Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
  • Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
  • Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: 3/3=1 12/4=3
  • Fracción decimal: fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.
  • Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias: 3 1/4
  • Una fracción irracional es, dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares, una término autocontradictorio. Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.
  • Una fracción continua es una expresión como ésta:

$x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}$

donde los a_i son enteros positivos.

• • Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
  • Fracción parcial: la que puede usarse para descomponer una función racional.
  • Fracción como razón:Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.

Fracción de una cantidad

Si queremos dividir una cantidad en varias partes e indicar un número de esas partes, podemos hacerlo mediante fracciones, dividiendo la cantidad por el denominador y multiplicando el resultado por el numerador. Así, si queremos indicar ³/₄ (tres cuartos, o tres cuartas partes) de 453, hay que dividir 453 entre el denominador (en este caso, 4) y multiplicar el resultado por el numerador (en este caso, 3). El número obtenido es la fracción que queremos indicar.

Operaciones con fracciones

Amplificación de fracciones

Véase también: Amplificación y simplificación de fracciones

La amplificación de una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número entero. De la misma manera, la simplificación de una fracción consiste en dividir el numerador y denominador entre un mismo número entero, que generalmente será uno de sus factores comunes. En ambos casos, se obtiene una fracción equivalente.

Ejemplos:

• ${\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}={\frac {8}{12}}$ (En esta amplificación de la fracción ⅔, se multiplica numerador y denominador por 4)
• ${\frac {10}{25}}={\frac {\frac {10}{5}}{\frac {25}{5}}}={\frac {2}{5}}$ (Aquí se simplifica 10/25 a ⅖ dividiendo numerador y denominador entre 5)

Comparación de fracciones

Véase también: Comparación de fracciones

La comparación de dos fracciones se utiliza para comprobar cuál es mayor. Existen varios métodos:

1. El método general consiste en amplificar las dos fracciones de modo que tengan el mismo denominador (por ejemplo, que tengan el mínimo común múltiplo (MCM) de las fracciones originales.
   • Por ejemplo, para ${\frac {5}{12}}$ y ${\frac {3}{8}}$, el MCM de 12 y 8 es 24, por lo que bastaría con multiplicar amplificar la primera fracción en un factor de 2 y la segunda en un factor de 3. Se obtiene ${\frac {5}{12}}={\frac {10}{24}}$, que es mayor que ${\frac {3}{8}}={\frac {9}{24}}$
2. Si el numerador de las dos fracciones es el mismo, la fracción con el menor denominador es mayor que la otra. Esto es bastante natural: si se tienen dos tartas iguales, una para repartir entre más personas que la otra, la que se reparta entre menos personas estará partida en porciones más grandes.
3. Si el denominador de las dos fracciones es el mismo, la fracción con el mayor numerador es mayor que la otra.

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, hay dos casos:

Tienen el mismo denominador

Entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador común.

• Ejemplo 1: ${\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {5}{7}}$

Es posible que el resultado se pueda simplificar.

• Ejemplo 2: ${\frac {7}{12}}-{\frac {1}{12}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$

Tienen distinto denominador

Entonces, hay que amplificar las fracciones para que tengan el mismo denominador y luego sumar.

• Fórmula típica para la suma: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}$
• Fórmula típica para la resta: ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad-bc}{bd}}$
• Ejemplo 1: ${\frac {2}{7}}+{\frac {1}{3}}={\frac {6}{21}}+{\frac {7}{21}}={\frac {6+7}{21}}={\frac {13}{21}}$

Observación: En realidad, no hace falta amplificar las fracciones de modo que el denominador resultante sea el producto de los denominadores de las fracciones iniciales. Basta con tomar el MCM de los denominadores:

• Fórmula para la suma: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm(b,d)}{b}}+c\cdot {\frac {mcm(b,d)}{d}}}{mcm(b,d)}}$
• Fórmula para la resta: ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm(b,d)}{b}}-c\cdot {\frac {mcm(b,d)}{d}}}{mcm(b,d)}}$
• Ejemplo 2: ${\frac {7}{8}}-{\frac {5}{12}}={\frac {7\cdot 3-5\cdot 2}{24}}={\frac {21-10}{24}}={\frac {11}{24}}$

Al final de la operación, puede que haga falta realizar otra simplificación.

Producto y cociente de fracciones

Para multiplicar dos fracciones, basta multiplicar los numeradores por una parte y los denominadores por otra:

• Fórmula para el producto: ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$
• Ejemplo: ${\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{2}}={\frac {3\cdot 5}{4\cdot 2}}={\frac {15}{8}}$

En el cociente de fracciones, el numerador de la fracción resultante es el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor, mientras que el denominador es igual al denominador de la fracción dividendo multiplicado por el numerador de la fracción divisor. Otra manera de imaginarlo es que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por el inverso de ese número, por lo que el cociente entre dos fracciones es igual al producto de la primera fracción por el inverso de la segunda:

• ${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Véase también

• Frecuencia estadística
• Número racional
• Porcentaje

Enlaces externos

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