Descomposición en fracciones simples

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El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Características[editar]

Para mayor claridad, sea:

en donde: . Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función de la forma:

o

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos[editar]

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos[editar]

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidos[editar]

Donde los pares de factores son idénticos.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos[editar]

Donde ningún par de factores es igual.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos[editar]

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula..

Cómputo de las constantes[editar]

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

en donde

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las , la resolución del sistema proporciona los valores de los .

Ejemplo 1[editar]

Sea Se puede descomponer en

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

Simplificando

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado

Para el caso de a observamos que nos facilita el proceso

Siendo el resultado, el siguiente

Ejemplo 2[editar]

Sea

Se puede descomponer de esta manera

multiplicando por , tenemos

Simplificando

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

Ejemplo 3[editar]

Tenemos que se puede convertir en

Multiplicamos por

Tenemos

Simplificando

Ahora podemos asignar valores a x

Resolviendo el sistema, resulta

Y el problema se resuelve de esta manera

Enlaces externos[editar]