Aleatoriedad

La aleatoriedad es un campo de definición que, en matemáticas, se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningún caso antes de que este se produzca. El estudio de los fenómenos aleatorios queda dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad y, en un marco más amplio, en el de la estadística.

La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propósito, causa, u orden. El término aleatoriedad se usa a menudo como sinónimo con un número de propiedades estadísticas medibles, tales como la carencia de tendencias o correlación.

La aleatoriedad ocupa un lugar importante en la ciencia y la filosofía.

Historia

La especie humana se ha preocupado de la aleatoriedad desde tiempos prehistóricos, la mayoría a través de la adivinación (al leer mensajes siguiendo patrones aleatorios) y los juegos. La oposición entre el libre albedrío y el determinismo ha sido una cuestión divisiva en la filosofía y la teología.

A pesar de la prevalencia de los juegos en todas las épocas y culturas, por un largo período hubo una cierta investigación occidental sobre el tema, posiblemente debido a la desaprobación que la Iglesia Católica mantenía en cuestiones de juegos y la adivinación. Si bien Gerolamo Cardano y Galileo escribieron sobre los juegos de azar, fueron Blaise Pascal, Pierre de Fermat y Christiaan Huygens quienes nos condujeron a lo que hoy se conoce como teoría de probabilidad.

Los matemáticos se centraron primero en aleatoriedad estadística y consideraron frecuencias de bloque (es decir, no solo las frecuencias de ocurrencias de elementos individuales, si no también bloques de longitudes arbitrarias) como la medida de la aleatoriedad, un acercamiento que se prolongará hacia la entropía de la información en la teoría de la información.

A principios de los años 60, Gregory Chaitin, Andréi Kolmogórov y Ray Solomonoff introdujeron la noción de aleatoriedad algorítmica, en la cual la aleatoriedad de una secuencia depende de si es posible comprimirla.

Aleatoriedad en la ciencia

Muchos campos científicos tienen que ver con la aleatoriedad:

• Probabilidad algorítmica.
• Teoría del Caos
• Criptografía
• Teoría de juegos
• Teoría de la información.
• Reconocimiento de patrones
• Teoría de la probabilidad
• Mecánica cuántica
• Estadística
• Mecánica estadística
• Simulación.

En las ciencias físicas

Tradicionalmente, la aleatoriedad asume un significado operacional en la ciencia natural: algo es aparentemente aleatorio si su causa no puede ser determinada o controlada. Cuando se realiza un experimento y todas las variables de control están fijadas, la variación permanente se adscribe a influencias incontroladas (por ejemplo, aleatorio). La suposición, de nuevo, es que si fuera posible de algún modo controlar minuciosamente todas las influencias, el resultado del experimento sería siempre el mismo. Por tanto, durante mucho tiempo en la historia de la ciencia, la aleatoriedad se ha interpretado en cierto modo como la falta de información de parte del observador. Esto cambió en el siglo XIX con el descubrimiento de las mecánicas estadísticas, las cuales explican las conocidas leyes de la termodinámica y las leyes de los gases en términos del movimiento aleatorio de las moléculas. El descubrimiento de la radioactividad, a comienzos del siglo XX, presentó otro fenómeno que era explicado de forma más simple gracias a la aleatoriedad.

Con la llegada de la mecánica cuántica, parece que el mundo es irreduciblemente aleatorio. De acuerdo con las interpretaciones estándar de la teoría, es posible establecer un experimento con un control total de todos los parámetros importantes, lo cual mantendrá una salida perfectamente aleatoria. Es más, la mecánica cuántica no predice el resultado de los experimentos, si no únicamente su distribución de probabilidad. Una resistencia minoritaria a esta idea toma forma en la Teoría de la variable oculta en la cual el resultado del experimento se determina por ciertas características no observables (de aquí el nombre "variables ocultas"). La existencia de clases importantes de variables ocultas produciría una diferencia experimental en cuanto a pruebas con las predicciones estándar que la mecánica cuántica proporciona, a no ser que estas variables ocultas actúen a través de ecuaciones caóticas.

Se cree que muchos procesos físicos resultantes de efectos mecánico-cuánticos son, por tanto, atómicamente aleatorios. Quizás el ejemplo más conocido es la duración de los eventos radioactivos en las substancias radioactivas. Incluso la estructura a gran escala del cosmos es explicada actualmente como el resultado de fluctuaciones mecánico-cuánticas que ocurrieron poco después del big bang.

En la Biología

La Teoría de la Evolución Biológica adscribe la diversidad de la vida observada a mutaciones aleatorias que se conservan en el acervo genético debido al aumento de oportunidades para la supervivencia y la reproducción que algunos genes mutados confieren a los individuos que los poseen.

Se dice tradicionalmente que las características de un organismo se deben a la genética y al entorno, pero también existen elementos aleatorios. Por ejemplo, considerando la característica de la existencia de pecas en la piel de una persona. Su herencia genética controla la posibilidad de desarrollar pecas, con este gen ligado al gen del pelo rojo, en este caso. Su entorno, tal como la exposición solar, determina cuantas de estas pecas potenciales aparecen en realidad. La ubicación de cada peca individual, sin embargo, no se puede predecir por la genética ni por la exposición solar, por lo que debe ser causada por elementos aleatorios.

En las Matemáticas

La teoría matemática de la probabilidad surgió de intentar formular descripciones matemáticas de los eventos de oportunidad, originalmente en el contexto de juegos. Pronto se vieron las posibles conexiones con situaciones de interés en la física. La estadística se usa para inferir la distribución de probabilidad subyacente de una colección de observaciones empíricas. Para los propósitos de la simulación es necesario tener un suministro amplio de números aleatorios, o medidas para generarlos bajo demanda.

La teoría de la información algorítmica estudia, entre otros temas, lo que constituye una secuencia aleatoria. La idea central es que una cadena de caracteres de bits es aleatoria si y solo si es más corta que cualquier cadena que pueda producir un programa informático—esto significa básicamente que las cadenas aleatorias son aquellas que no pueden ser comprimidas. Entre los pioneros de este campo se incluyen Andréi Kolmogórov, Ray Solomonoff, Gregory Chaitin, Anders Martin-Löf y otros.

En la teoría de la comunicación

Una comunicación satisfactoria en el mundo real depende, en el límite, de la comprensión y la minimización exitosa de los efectos perjudiciales de fuentes de interferencia clasificadas, muchas de las cuales son aparentemente aleatorias. Tal ruido impone límites de ejecución en cualquier canal de comunicaciones y fue el estudio de esos límites lo que condujo a Shannon a desarrollar la teoría de la información, hacer contribuciones fundamentales a la teoría de la comunicación y establecer una base teórica para la criptografía.

En las finanzas

La hipótesis de la caminata al azar considera que los precios de los activos en un mercado organizado evolucionan aleatoriamente.

Aleatoriedad en la filosofía y la religión

Hay que notar que la predisposición a creer que "todo tiene un propósito o una causa" está de hecho implícita en la expresión "aparente carencia de propósito o causa". Los humanos están siempre buscando patrones en su experiencia, y el patrón más básico parece ser el patrón causa-efecto. Esto parece embebido en el cerebro humano, y quizás en otros animales también. Por ejemplo, los perros y los gatos a menudo muestran establecer aparentemente una conexión de causa y efecto que nos parece divertida o peculiar, como puede ser la situación por la cual un perro que, después de visitar al veterinario cuya clínica tenga los suelos embaldosados de un azulejo concreto, rechace a partir de entonces acercarse a esa clase de suelos, estando o no en la clínica veterinaria.

Es debido a esta tendencia que la ausencia de una causa parece problemática. Ver causalidad.

Para resolver este problema, a veces se dice que los eventos aleatorios son causados por azar. Más que resolver el problema de la aleatoriedad, esto abre el enorme hueco de definir el azar. Es difícil evadir la circularidad al definir el azar en términos de aleatoriedad.

Aleatoriedad contra Impredecibilidad

Algunos discuten que la aleatoriedad no debe confundirse con la impredecibilidad práctica, la cual es una idea que está relacionada con el uso ordinario. Algunos sistemas matemáticos, por ejemplo, pueden verse como aleatorios; sin embargo son de hecho impredecibles. Esto se debe a una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Muchos fenómenos aleatorios pueden exhibir características organizadas a algunos niveles. Por ejemplo, mientras la media porcentual del incremento de la población humana es bastante predecible, en términos sencillos, el intervalo real de los nacimientos y muertes individuales no se pueden predecir. Esta aleatoriedad a pequeña escala se encuentra en casi todos los sistemas del mundo real. La ley de Ohm y la teoría cinética de los gases son estadísticamente descripciones reales de cálculos (por ejemplo, el resultado neto o la integración) de vastas cantidades de números de eventos individuales atómicos, cada uno de los cuales son aleatorios, y ninguno de ellos son individualmente predecibles.

Los sistemas caóticos son impredecibles en la práctica debido a su extrema dependencia de las condiciones iniciales. Si son o no impredecibles en términos de la teoría de la computabilidad es objeto de actuales investigaciones. Al menos en algunas disciplinas la teoría de la computabilidad, la noción de la aleatoriedad termina siendo identificada con impredecibilidad computacional.

Se requiere la impredecibilidad en algunas aplicaciones, tales como los múltiples usos de los números aleatorios en la criptografía. En otras aplicaciones, como el modelado o la simulación, la aleatoriedad estadística es esencial, pero la predictibilidad también sirve de ayuda (por ejemplo, cuando se ejecutan repetidamente simulaciones o pruebas de reconocimiento, puede ser muy útil poder volver a ejecutar el modelo con la entrada aleatoria exacta numerosas veces).

Lidiar sensiblemente con la aleatoriedad es un problema duro para la ciencia moderna, las matemáticas, la psicología y la filosofía. Meramente definirlo adecuadamente, para los propósitos de una disciplina es dificultoso. Distinguiendo entre aparente aleatoriedad y la verdadera no ha sido más sencillo. En adición, asegurar imprevisibilidad, especialmente contra una grupo bien motivado, ha sido más difícil aún.

Algunos filósofos han discutido que no hay aleatoriedad en el universo, solo imprevisibilidad. Otros encuentran la distinción sin sentido (ver determinismo para más información).

Aleatoriedad y religión

Algunos teólogos han intentado resolver la aparente contradicción entre la deidad omnisciente, o el libre albedrío usando aleatoriedad. Los discordianistas tiene una fuerte creencia en ella y en la impredecibilidad.

Aplicaciones y usos de la aleatoriedad

Los números aleatorios fueron investigados primero en el contexto de las apuestas, y muchos dispositivos aleatorizados tales como los dados, las cartas, y las ruletas, fueron primero desarrollados para ser usados en apuestas. La habilidad de producir justamente números aleatorios es vital a la apuesta electrónica, y como tal, los métodos usados para crearlas son usualmente regulador por las Juntas de Control de Juego gubernamentales.

Los números aleatorios son también usados para otros propósitos, donde sus uso es matemáticamente importante, tal como muestras de urnas de opinión, y en situaciones donde la "equidad" es aproximada por aleatorización, tal como seleccionar jurados. Soluciones computacionales para algunos tipos de problemas usan extensivamente números aleatorios, tal como en el método de Monte Carlo y en algoritmos genéticos.

Generando Aleatoriedad

En su libro "Una nueva forma de ciencia", Stephen Wolfram describe tres mecanismos responsables de (aparentemente) conducta aleatoria en los sistemas:

1. Aleatoriedad viniendo del entorno (por ejemplo, movimiento browniano, pero también hardware generador de números aleatorios).
2. Aleatoriedad viniendo de las condiciones iniciales. Este aspecto es estudiado por la Teoría del Caos, y es observado en sistemas cuyo comportamiento es muy sensitivo a pequeñas variaciones en dicha condiciones iniciales (tales como las máquinas de pachinko, dados...).
3. Aleatoriedad intrínsecamente generada por el sistema. Ésta es también llamada secuencia pseudoaleatoria, y es el tipo usado en los generadores de números pseudoaleatorios. Hay muchos algoritmos (basados en aritmética o autómatas celulares) para generar números pseudoaleatorios. El comportamiento del sistema puede ser determinado sabiendo el estado de la semilla y el algoritmo usado. Este método es más rápido que obtener "verdadera" aleatoriedad del entorno.

Las muchas aplicaciones de la aleatoriedad han llevado a muchos métodos diferentes para generar datos aleatorios. Estos métodos pueden variar depende de cuán impredecible o estadísticamente aleatorios son, y cuán rápido pueden generar números al aleatorios.

Antes del avance de los generadores computacionales de números aleatorios, generar grandes cantidades de números suficientemente aleatorios (importante en estadística) requería mucho trabajo. Los resultados podían ser algunas veces ser colectados y distribuidos como tablas de números aleatorios.

Enlaces relacionado con generar aleatoriedad

• Entropía (información)
• Teoría de probabilidad
• Secuencia pseudoaleatoria
• Número aleatorio
• Variable aleatoria
• Proceso estocástico

Malinterpretaciones / falacias lógicas

Percepciones populares de la aleatoriedad están frecuentemente equivocadas, basadas en falacias lógicas. El seguimiento en un intento de identificar la fuente de tales falacias y corregir los errores lógicos.

Un número está "debido"

Este argumento dice que "ya que todos los números eventualmente saldrán en una selección aleatoria, aquellos que todavía no hayan salido están 'debidos' y es más probable que salgan pronto". Esta lógica es solo correcta si es aplicada a un sistema donde los números que salen son removidos del sistema, así como cuando se barajan las cartas y se regresan al mazo. Es verdad, por ejemplo, que una vez que una J es removida del mazo, la próxima carta es menos probable que sea una J y más probable que sea otra. Sin embargo, si la J es regresada al mazo, y este es rebarajado, hay una oportunidad igual de sacar una J o cualquier otra carta la próxima vez. La misma verdad se aplica a cualquier otro caso donde los objetos son seleccionados independientemente y nada es removido del sistema luego de cada evento, así como una tirada de dado, de moneda o la mayoría de las loterías.

Un número está "maldito"

Este argumento es casi la reversa del de arriba, y dice que los números que han salido de forma menos seguida en el pasado continuarán viniendo con menor frecuencia en el futuro. Un argumento similar, "número 'bendito'", puede estar diciendo que los números que han salido con mayor frecuencia en el pasado lo harán en el futuro. Esta lógica es solo válida si la tirada es de alguna manera parcial y los resultados no tienen igual probabilidades -por ejemplo, con un dado pesado. Si sabemos con seguridad que la tirada es justa, entonces eventos previos no tienen influencia en eventos futuros.

Nótese que en la naturaleza, eventos inesperados o inciertos raramente ocurren con frecuencias perfectamente iguales, de esta manera el aprender qué eventos son probables que tengan probabilidades más altas observando resultados tiene sentido. Lo que es falaz es aplicar esta lógica a sistemas que son especialmente diseñados para que todos los resultados sean igualmente probables -tales como los dados, las ruletas, etc.

Citas

• "Dios no juega a los dados con el universo". —Albert Einstein
• "Números aleatorios no deberían ser generados por un método elegido aleatoriamente". —Donald E. Knuth
• "La generación de números aleatorios es demasiado importante para ser librada al azar". —Robert R. Coveyou, Laboratorio Nacional de Oak Ridge, 1969
• "Aquello que es estático y repetitivo es aburrido. Aquello que es dinámico y aleatorio es confuso. En el medio yace el arte". —John Locke
• "Rio de lo predecible y cuento lo pseudo aleatorio". —Steven Roddis
• "¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar? ¿No es azar la antítesis de toda ley?". — Joseph Bertrand, Calcul des probabilités, 1889

Véase también

• Complejidad
• Caos

Bibliografía

• Deborah J. Bennett (1998). Randomness. Harvard University Press. ISBN 0-674-10745-4. 
• Olav Kallenberg (1986). Random Measures, 4ta ed. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin. MR0854102. 
• Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3ra ed. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. 
• Nassim Nicholas Taleb (2004). Fooled by Randomness, 2da ed. Thomson Texere. 1-58799-190-X. 
• Gregory Chaitin (2001). Exploring Randomness. Springer-Verlag London. ISBN 1-85233-417-7. 

Enlaces externos

• Citas en Wikiquote.
  

• ¿Puedes creer a la aleatoriedad? (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Random.org
• Aleatoriedad y prueba matemática
• Un programa de prueba con secuencias numerales pseudoaleatorias (Dominio Público)
• Diccionario de la Historia de Ideas: Azar
• Filosofía: Libre Voluntad vs. Determinación
• Historia de las definiciones de aleatoriedad, en "Un nuevo tipo de ciencia" de Stephen Wolfram.